QUESTÕES VESTIBULAR PUCRJ 2017 – TIPO ANALÍTICA - COMENTADAS

1. (Pucrj 2017)  Temos uma urna com 100 bolas numeradas de 1 a 100

a) Escolhendo duas bolas distintas simultaneamente, qual a probabilidade de que a soma seja 3?

b) Escolhendo duas bolas distintas simultaneamente, qual a probabilidade de que a soma seja menor ou igual a 7?

c) Escolhendo duas bolas distintas simultaneamente, qual a probabilidade de que o produto seja um número par?

 Vamos admitir que a escolha é feita de modo aleatório.

a) Seja A o evento escolher aleatoriamente duas bolas distintas simultaneamente de modo que a soma seja igual a 3 e U o espaço amostral escolher aleatoriamente duas bolas distintas simultaneamente.

   A = {(1, 2)} → n(A) = 1

   U = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), ... , (99, 100)} → n(U) = C_100,2 = 100!/2!98! = 4950

   Assim, P(A) = n(A)/n(U) = 1/4950

b) Seja B o evento escolher aleatoriamente duas bolas distintas simultaneamente de modo que a soma seja menor ou igual a 7 e U o espaço amostral escolher aleatoriamente duas bolas distintas simultaneamente.

Soma igual a 3: (1, 2)

Soma igual a 4: (1, 3)

Soma igual a 5: (1, 4), (2, 3)

Soma igual a 6: (1, 5), (2, 4)

Soma igual a 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4)

B = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (1, 5), (2, 4), (1, 6), (2, 5), (3, 4)}

n(B) = 9 e n(U) = 4950

       

Assim, P(B) = n(B)/n(U) = 9/4950 = 1/550

c) Seja C o evento escolher aleatoriamente duas bolas distintas simultaneamente de modo que o produto seja ímpar e U o espaço amostral escolher aleatoriamente duas bolas distintas simultaneamente.

   n(C) = C_50,2 = 50!/2!48! = 25.49 = 1225 (total de duplas de bolas ímpares)

Assim, P(C) = n(C)/n(U) = 1225/4950 = 49/198

   A probabilidade de que o produto seja par é dada por P(C') = 1 - P(C)

Então, P(C') = 1 - 49/198 = 149/198

  

  

2. (Pucrj 2017)  Considere a parábola de equação y = x² – x + 1

a) Encontre os pontos de interseção da parábola com a reta de equação   y = x + 1.

b) Encontre b para o qual a parábola intercepta a reta de equação y = x + b em um único ponto.

c) Encontre as retas que passam pelo ponto (1, 0) e que interceptam a parábola em um único ponto.

   a) Os pontos de interseção entre a parábola de equação y = x² – x + 1 e a reta de equação y = x + 1 são obtidos à partir da resolução do sistema formado por essas equações, portanto :

x² – x + 1 = x + 1 → x² – x  = x  → x² – 2x = 0 → x' = 0 e x" = 2

Para x' = 0, então  y' = 1 → (0, 1) e para x'' = 2, então  y'' = 3 → (2, 3)

   b) Para que a parábola de equação y = x² - x + 1 intercepte a reta de

    equação y = x + b num único ponto, basta que a equação x² - x + 1= x+b

    admita duas soluções idênticas.

 Daí, x² - x + 1= x + b → x² - 2x + 1 – b = 0 → ∆ = (-2)² – 4 . 1. (1 - b) = 4b

    A equação x² - x + 1= x + b admite duas soluções idênticas quando         

     ∆ = 0 ou seja, b = 0.

    c) As retas que passam pelo ponto (1, 0) são da dadas por

     

     y – 0 = m(x - 1) → y = mx – m. Assim, queremos que a equação

    x² - x + 1 = mx - m  tenha duas soluções idênticas.

     Logo, x² – x - mx + 1 + m = 0 → x² – (1 + m)x + 1 + m = 0 →

     ∆ = [-(1 + m)]² – 4.1.(1 + m) → ∆ = 1 + 2m + m² – 4 – 4m →

     ∆ = m² – 2m – 3 = 0 → m' = - 1 ou m" = 3

      Dessa forma, as retas que passam pelo ponto (1, 0) e que interceptam    

      a parábola de equação y = x² – x + 1 em um único ponto são as retas

    

      de equação y = -x + 1 e y = 3x - 3  

3. (Pucrj 2017)  Sejam g₀, g₁ : R → R  as seguintes funções:

   g₀ = (|x + 2| - |x - 2|)/2     e    g₁ = (g₀|4x + 6| + g₀|4x - 6|)/2

a) Faça o esboço do gráfico de g₀.

b) Faça o esboço do gráfico de g₁.

c) Resolva a inequação g₁ ≤ x/2.

  

Resposta da questão 3:

 a) Sendo   g₀ = (|x + 2| - |x - 2|)/2                                                    

                        

b) Sendo : 

● g₀ = (|x + 2| - |x - 2|)/2, então  g₀(4x+6) = (|4x + 6 + 2| - |4x + 6 - 2|)/2  

g₀(4x+6) = (|4x + 8| - |4x + 4|)/2 → g₀(4x+6) = (4|x + 2| - 4|x + 1|)/2 →   

g₀(4x+6) = 2|x + 2| - 2|x + 1|     

● g₀ = (|x + 2| - |x - 2|)/2, então  g₀(4x-6) = (|4x - 6 + 2| - |4x - 6 - 2|)/2  

g₀(4x-6) = (|4x - 4| - |4x - 8|)/2 → g₀(4x-6) = (4|x - 1| - 4|x - 2|)/2 →   

g₀(4x-6) = 2|x - 1| - 2|x - 2|     

Portanto :

g₁ = (g₀|4x + 6| + g₀|4x - 6|)/2 = (2|x + 2| - 2|x + 1| + 2|x - 1| - 2|x - 2|)/2 →    

g₁ = |x + 2| - |x + 1| + |x - 1| - |x - 2|

          

                                      

c) Sendo g₁ ≤ x/2, então :

  

                        

Do gráfico, g₁ ≤ x/2 → - 4 ≤ x ≤ - 4/3 ou 0 ≤ x ≤ 4/3 ou x ≥ 4

Portanto, S = {x ɛ R / - 4 ≤ x ≤ - 4/3 ou 0 ≤ x ≤ 4/3 ou x ≥ 4}  

4. (Pucrj 2017)  Considere, como na figura, um quadrado ABCD de lado 2 e um círculo inscrito de centro O e raio 1. Sejam E e F os pontos médios dos lados AB e AD, respectivamente.

                           

a) Calcule a área do quadrado e a área do círculo.

b) Calcule a área da região limitada pelos segmentos AE, AF e pelo arco EF.

c) Seja GH um segmento de reta paralelo ao lado AD, em que G pertence ao segmento AE e H pertence ao arco EF. Sabendo que os pontos A, H  e C são colineares, calcule a área da região limitada pelos segmentos AF, AG, GH e pelo arco FH.

Resposta da questão 4:

 a) Teremos:

                            

Do enunciado e da figura, temos: S_Quadrado = 2² = 4  e  S_Círculo = π.1² = π

b) Teremos:

4S + π = 4 → 4S = 4 - π → S = (4 - π)/4 → S = 1 - π/4

c) Teremos:

                         

No triângulo AGH, (AH)² = x² + x² → (AH)² = 2x² → AH = x√2

No triângulo ABC, (AC)² = 2² + 2² → (AH)² = 8 → AH = 2√2

    Então, AC = 2AH + 2 → 2√2 = 2.x√2 + 2 → √2 = x√2 + 1 →

    x√2 = √2 - 1 → (x√2)² = (√2 - 1)² → 2x² = 3 - 2√2 → x² = (3 - 2√2)/2 →

    x² = 3/2 - √2.

    Finalmente, a área pedida é dada por:

    x.x/2 + S/2 → x²/2 + S/2 = (3/2 - √2)/2 + (1 - π/4)/2 = 5/4 - √2/2 - π/8

5. (Pucrj 2017)  Dadas as funções f, g : R → R definidas por

                  f(x) = x² – 13x + 36  e g(x) = - 2x + 12.

a) Encontre os pontos de interseção dos gráficos das duas funções.

b) Encontre os valores reais de x para os quais f(x) ≥ g(x).

c) Encontre os valores reais de x que satisfazem f(x + 1) = g(x - 2).

  

Resposta da questão 5:

 a) Para encontrar os pontos de interseção dos gráficos de f e g, basta

        resolvermos a equação f(x) = g(x).

       Portanto x² – 13x + 36 = - 2x + 12 → x² – 11x + 24 = 0 → x' = 3 ou x'' = 8

  

   Quando x' = 3 → g(3) = f(3) = 6 e quando x' = 8 → g(8) = f(8) = - 4

       Logo, os pontos de interseção dos gráficos das funções são

       (3,6) e  (8,-4)

       b) De f(x) ≥ g(x) → x² – 11x + 24 ≥ 0 → x ≤ 3 ou x≥ 8

             

 c) De f(x) = x² – 13x + 36 → f(x + 1) = (x + 1)² – 13(x + 1) + 36 →

           f(x + 1) = x² – 11x + 24.

           De g(x) = - 2x + 12 → g(x - 2) = -2(x - 2) + 12 → g(x - 2) = -2x+ 16

           f(x + 1) = x² – 11x + 24.

           Então, x² – 11x + 24 = -2x+ 16 → x² – 9x + 8 = 0 → x' = 1 ou x'' = 8

6. (Pucrj 2017)  Mônica tem uma blusa de cada uma das seguintes cores: branca, vermelha, amarela, preta e verde. Ela também tem uma calça de cada uma das seguintes cores: preta, azul, cinza e branca.

a) De quantas maneiras Mônica pode escolher uma blusa e uma calça para sair?

b) De quantas maneiras Mônica pode escolher uma blusa e uma calça de cores diferentes uma da outra?

c) Na segunda-feira, Mônica usou calça azul e camisa preta. Na terça-feira, ela quer escolher uma calça e uma camisa de cores diferentes uma da outra. Sabendo que as roupas que ela usou na segunda-feira estão lavando (e apenas estas), de quantas maneiras ela pode escolher suas roupas?

Resposta da questão 6:

 a) Como Mônica possui 5 blusas distintas e 4 calças distintas, o total de maneiras de escolher uma blusa e uma calça para sair é dado pelo princípio fundamental da contagem.

Seja x o total de maneiras, temos: x = 5.4 = 20

b) Se Mônica escolher a blusa de cor branca, há 3 possibilidades de escolha para a calça.

Se Mônica escolher a blusa de cor vermelha, há 4 possibilidades de escolha para a calça.

Se Mônica escolher a blusa de cor amarela, há 4 possibilidades de escolha para a calça.

Se Mônica escolher a blusa de cor preta, há 3 possibilidades de escolha para a calça.

Se Mônica escolher a blusa de cor verde, há 4 possibilidades de escolha para a calça.

Então, nas condições dadas, há 3 + 4 + 4 + 3 + 4 = 18 maneiras de Mônica escolher suas roupas.

c) Admitindo blusa e camisa como sinônimos, temos:

Se Mônica escolher a blusa de cor branca, há 2 possibilidades de escolha para a calça.

Se Mônica escolher a blusa de cor vermelha, há 3 possibilidades de escolha para a calça.

Se Mônica escolher a blusa de cor amarela, há 3 possibilidades de escolha para a calça.

Se Mônica escolher a blusa de cor verde, há 3 possibilidades de escolha para a calça.

    Então, nas condições dadas, há 2 + 3 + 3 + 3 = 11 maneiras de Mônica   escolher suas roupas.  

7. (Pucrj 2017)  Considere um quadrado ABCD, de cartolina e de lado 70 cm. (conforme figura abaixo).

                                

Temos que P, Q , R e S pertencem aos lados AB, BC, CD e DA respectivamente, e que os segmentos AP, BQ, CR e DS medem 30 cm cada um.

a) Calcule a área do triângulo APS.

b) Calcule a área do quadrado PQRS.

c) Dobramos a folha ao longo de PQ, QR, RS e SP de tal forma que os triângulos BPQ, CQR, DRS e ASP venham a ocupar o interior do quadrado PQRS, conforme figura abaixo. Sejam A', B', C' e D', as novas posições dos vértices destes triângulos. Calcule a medida do lado do quadrado A'B'C'D'.

                              

  

Resposta da questão 7:

 Do enunciado e da figura, temos:

                                  

a) Seja A_APS a área do triângulo APS → A_APS = 30.40/2 = 600 cm²

b) Sendo PS = x, a área do quadrado PQRS é A_PQRS = x² .

 Como no triângulo APS, x² = 30² + 40² = 2500 → A_PQRS = 2500 cm²

c) Temos:

                               

Como CR = RC' ; o ângulo CRQ = C'RQ e RQ é lado comum dos

triângulos CRQ e C'RQ, então os triângulos CRQ e C'RQ são

congruentes. Consequentemente QC' = 40 → 30 + x = 40 → x = 10 cm

  

8. (Pucrj 2017)  Na escola de Alberto, Pedro e João, as notas das provas variam de 0 a 10,0.

a) Alberto faz três provas e tira notas 6,0; 6,5 e 8,5. Se as provas têm o mesmo peso, qual é a média final de Alberto?

b) Pedro faz três provas de igual peso e tira 4,0 e 5,0 nas duas primeiras provas. Qual a nota mínima que Pedro precisa tirar para que a sua média seja maior ou igual a 6,0 ?

c) Numa disciplina com três provas de igual peso, João tira 3,0 na primeira prova. Qual a nota mínima que João precisa tirar na segunda prova para ainda ter chance de passar com média 6,0 ?

Resposta da questão 8:

 a) A média final de Alberto é m_a = (6,0 + 6,5 + 8,5)/3= 7 .

b) Seja y a nota da terceira prova de Pedro, então (4,0 + 5,0 + y)/3 ≥ 6 →

    

     (9 + y)/3 ≥ 6 → 9 + y ≥ 18 → y ≥ 9 → y_Minimo = 9

c) Seja z a nota mínima da segunda prova de João que garante que ele

    seja aprovado com média 6 após ter tirado 3 na primeira prova.

 w é nota da terceira prova, então (3,0 + z + w)/3 = 6 → 3 + z + w = 18

 z + w = 15 → z = 15 – w.

    Como z é obtido tomando o maior valor possível para w, ou seja,

    fazendo w = 10. Assim, z = 15 – 10 = 5

  

9. (Pucrj 2017)  Jogamos dois dados comuns, com faces numeradas de 1 a 6. Um dado é azul; o outro, vermelho.

a) Qual é a probabilidade de que os dois dados mostrem o mesmo número?

b) Qual é a probabilidade de que o dado azul mostre um número maior do que o do dado vermelho?

a) Calculando:

     6 . 1/6 . 1/6 = 6/6 = 1/6.

b) Calculando:

     1 + (2, 3, 4, 5 ou 6) → 1/6 . 5/6 = 5/36

    

     2 + (3, 4, 5 ou 6) → 1/6 . 4/6 = 4/36

     3 + (4, 5 ou 6) → 1/6 . 3/6 = 3/36

     4 + (5 ou 6) → 1/6 . 2/6 = 2/36

     5 + (6) → 1/6 . 1/6 = 1/36

     Portanto 5/36 + 4/36 + 3/36 + 2/36 + 1/36 = 15/36 = 5/12

  

10. (Pucrj 2017) 

a) Uma parábola de equação y = ax² + bx + c passa pelos pontos (0, 0),    (1, 0) e (2, 1). Determine a, b e c.

b) Encontre os pontos de interseção entre a parábola do item anterior e a reta de equação y = x.

  

a) Calculando:

    Sendo y = ax² + bx + c, então 

   (0,0) → 0 = a.0² + b.0 + c → c = 0

   (1,0) → 0 = a.1² + b.1 + 0 → a + b = 0

   (2,1) → 1 = a.2² + b.2 + 0 → 4a + 2b = 1

   Resolvendo o sistema a + b= 0 e 4a + 2b = 1, vem a = 1/2 e b = - 1/2.

  b) Calculando:

    x²/2 - x/2 = x → x² – x = 2x → x² – 3x = 0 → x' = 0 ou x'' = 3, portanto os 

   

    pontos são (0, 0) e (3, 3).

11. (Pucrj 2017)  Considere o círculo de raio 2 centrado na origem, e as retas verticais x = 1 e x = - 1 como indicado na figura.

                         

a) Encontre as coordenadas dos pontos de interseção A, B, C, D entre o círculo e as retas verticais.

b) Calcule a área da região interior ao círculo que fica entre as duas retas verticais.  

  

a) Calculando:

   O(0,0) → x² + y² = 2².

   Se x = 1 → 1² + y² = 2² → y = ±√3

   Portanto A(1, √3); B(1, -√3); C(- 1, √3); D(- 1, - √3)

 b) Calculando:

    Setor_AOD = Setor_COB = π.2². 60/360 = 2π/3.

    Triangulo_AOB = Triangulo_DOC = 1.2√3/2 = √3

     Área_total = 2 . 2π/3 + 2√3 = 4π/3 + 2√3

   

12. (Pucrj 2017) 

a) Resolva a equação x² – x – 2 = 0, sabendo que x ɛ R.

b) Resolva a equação √(x² + 3x + 6) = 2x, sabendo que x ɛ R.

  

a) Calculando:

   x² – x – 2 = 0 → ∆ = 9 → x' = -1 ou x'' = 2

b) Calculando:

 

   √(x² + 3x + 6) = 2x → [√(x² + 3x + 6)]² = (2x)² → x² + 3x + 6 = 4x² →

   - 3x² + 3x + 6 = 0 (÷ -3) →  x² - x - 2 = 0  → x' = - 1 ou x'' = 2

     Assim: √((-1)² + 3(-1) + 6) = 2(-1) não é solução em R e

    √((2)² + 3(2) + 6) = 2(2) é solução em R

  

13. (Pucrj 2017)  Em um viveiro de uma universidade, havia várias araras: 90% eram azuis; 10%, verdes.

Algumas araras azuis foram retiradas do viveiro para o Zoológico: agora, 80% das araras do viveiro são azuis.

Qual é a porcentagem do número inicial total de araras no viveiro da universidade que foi transferida para o Zoológico?

 

Calculando:

Supondo x_inicial = 100 → x_a = 90 azuis e x_v = 10 verdes

Se 10 → 20%, entao x_novo → 100%, portanto x_novo = 50 araras no total.

50 = 10 + (90 - x_a.retiradas ) → x_a.retiradas = 50 = 50%