1.(Mackenzie 2017)
Se f e g são
funções reais definidas por f(x) = √x e g(x)
= x/(2x2 – 5x + 2), então o domínio da função composta fog é o
conjunto :
a) {x ɛ R / 0 ≤ x ≤ 1/2 ou x ≥ 2}
b) {x ɛ R / 0 ≤ x ≤ 1/2 ou x > 2}
c) {x ɛ R / 0 < x < 1/2 ou x
> 2}
d) {x ɛ R / x < 1/2 ou x > 2}
e) {x ɛ R / x ≤ 1/2 ou x ≥ 2}
Resposta
da questão 1:[B]
Sendo f(x) = √x e g(x) = x/(2x2 – 5x + 2) então
fog(x) = √ x/(2x2 – 5x + 2)
Logo, x/(2x2 – 5x + 2) ≥ 0 e (2x2
– 5x + 2) ≠ 0
Como 2x2 – 5x + 2 ≠ 0 então x ≠ 2 e x ≠ 1/2.
Como x/(2x2
– 5x + 2) ≥ 0 , então
Portanto 0 ≤ x <1/2
ou x > 2.
2.
(Mackenzie 2017) Sabendo que,
então
o valor de n vale :
a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
e) 4
Resposta
da questão 2:[A]
Assim, 2n = 256 → 2n
= 28 → n = 8
3.
(Mackenzie 2017) João guardou as duas chaves de sua casa em uma
caixa que estava na estante da sala. Ao sair, no dia seguinte, foi pegar as
chaves de casa na caixa em que as havia guardado e percebeu que a caixa
continha 5 chaves e não apenas as duas que eram suas. Como não conseguia distinguir
as suas chaves e já estava atrasado para um compromisso, João resolveu sortear 3
das 5 chaves e levá-las consigo.
Assim,
a probabilidade de que João consiga entrar em casa quando voltar é :
a) 0,5
b) 0,7
c) 0,9
d) 0,6
e) 0,4
Resposta
da questão 3:[C]
Sejam C1 e C2 as chaves de João e C3, C4 e C5 as demais chaves que estavam na caixa.
Supondo que as outras três chaves além
das chaves de João não abrem sua casa, João conseguirá entrar em sua casa se
dentre as três chaves que pegou, tiver C1 ou C2.
Então João conseguirá entrar em sua casa
se tiver com uma das chaves que abrem a porta e duas que não abrem ou duas
chaves que abrem e outra que não abre.
Sendo P a probabilidade de que João
consiga entrar em casa quando voltar, temos: P = (C2,1 . C3,2
+ C2,2 . C3,1)/C5,3 onde:
C2,1 é o total de modos de se escolher uma das duas
chaves que abram a porta, C3,2 é o total
de modos de se escolher duas chaves que não abrem a porta, C2,2 é total de modos de se escolher duas chaves
que abrem a porta, C3,1 é o total
de modos de se escolher uma das chaves que não abrem a porta e C5,3 é
o total de modos de se escolher três chaves quaisquer das cinco.
Então, P = (C2,1 . C3,2
+ C2,2 . C3,1)/C5,3 → P = (2!/1!1! . 3!/2!1! + 2!/2!0!.
3!/1!2!)/(5!/3!2!) → P = (2.3 + 1.3)/10 →
P = 9/10 → P = 0,9
4. (Mackenzie 2017)
A altura, em cm,
de um tetraedro regular cuja área total mede 48√3 cm2 é :
a) 2√2
b) 4√2
c) 2√3
d) 4√3
e) 6
Resposta
da questão 4: [B]
Sendo x a medida de uma das arestas do
tetraedro regular, temos:
4.(1/2).x.x.sen600 = 48√3 → 2x2.√3/2
= 48√3 → x2 = 48 → x = ± 4√3
Como x > 0, então x = 4√3 cm.
Observe o tetraedro regular abaixo:
No triângulo EBF, tg 300 =
y/BF → y = BF. tg300, como BF = 2√3 →
y = 2√3 . (√3/3) → y = 2
No triângulo AFD, sen 600 =
z/AD → z = AD. sen 600, como AD = 4√3 →
z = 4√3 . √3/2 → z = 6
No triângulo AFE, z2 = y2
+ h2 → 62 = 22 + h2 → h2
= 32 → h = 4√2 cm
5. (Mackenzie 2017)
A equação da
mediatriz do segmento que une os pontos P(1, - 2) e Q(5, 4) é :
a) 2x + 3y – 9 = 0
b) 2x - 3y + 9 = 0
c) 2x - 3y – 3 = 0
d) 3x - 2y – 7 = 0
e) 3x + 2y – 11 = 0
Resposta
da questão 5:[A]
Seja r a reta mediatriz do segmento
formado pelos pontos P e Q.
Observe a figura abaixo:
Como xM = (1 + 5)/2 = 3 e yM
= (-2 + 4)/2 = 1, então M(3, 1)
O coeficiente angular de PQ é mPQ
= [4 - (-2)]/(5 - 1) = 6/4 = 3/2
Como r é perpendicular a PQ, então mr
= - 1/mPQ = - 2/3
Assim, a equação da reta r, que passa por
M, é dada por: y – 1 = -2/3.(x - 3)
3y – 3 = -2x + 6 → 2x + 3y – 9 = 0
6.
(Mackenzie 2017) Duas pessoas patinam sobre o gelo descrevendo
trajetórias circulares. As circunferências descritas por elas são dadas pelas
equações (x + 3)2 + (y + 1)2 = 10 e (x + 3)2 + y2 = 13, respectivamente. A distância entre os dois
pontos de interseção das circunferências é :
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
Resposta
da questão 6: [D]
Os pontos de intersecção entre as duas
circunferências são solução do
sistema abaixo: (x + 3)2 + (y
+ 1)2 = 10 e (x + 3)2
+ y2 = 13
Subtraindo membro a membro as equações,
teremos:
(x + 3)2 + (y + 1)2
- (x + 3)2 - y2 = 10
– 13 → y2 – y2 – 2y – 1 = 3 → y = -2
Substituindo y = - 2 em
uma das equações , vem (x + 3)2 + (-2 + 1)2 = 10
(x + 3)2 = 9 → x2 +
6x + 9 = 9 → x2 + 6x = 0 → x'
= 0 ou x'' = - 6
Assim, os pontos de intersecção entre as
duas circunferências são
A(0, - 2) e B(- 6, - 2) →dAB =
√[-6 - 0)2 + (-2 + 2)2] → dAB
= 6
7. (Mackenzie 2017)
Os valores de
m (m ɛ R), tais que a equação x2 – 2x + log2m4
= 0 tem raízes reais e distintas são :
a) m < 1/2
b) m < √2
c) m > √2
d) m > 4√2
e) 0 < m < 4√2
Resposta
da questão 7: ANULADA
Para que a equação dada tenha raízes reais e
distintas, basta que Δ > 0 →
b2 – 4.a.c > 0 → (-2)2 – 4.1.log2m4
> 0 → 4 – 4log2m4 > 0 → 4 > 4log2m4
> 0
[- 4log2m4
> - 4] : (-4) → log2m4 < 1 → m4 < 21
→ m4 – 2 < 0 →
(m2 + √2).( m2 - √2) < 0 .
Como para qualquer m ϵ R, (m2 + √2) >
0, então (m2 - √2) < 0 → m = ± 4√2
+ − +
-----------○-------------○---------- → - 4√2 < m < 4√2
- 4√2 4√2
Dessa forma, a questão não apresenta resposta correta.
8. (Mackenzie 2017)
O produto das
raízes da equação |3x + 5| + |x - 1| = 2 é :
a) -3/2
b) 3/2
c) -25/9
d) 25/9
e) -
1
Resposta
da questão 8: ANULADA
Analisando
|3x + 5| + |x - 1|
Assim, de |3x + 5| + |x - 1| = 2, - 4x –
4 = 2, com x ≤ -5/3 ou 2x + 6 = 2, com
– 5/3 ≤ x ≤ 1 e 4x + 4 = 2, com x ≥ 1.
De – 4x – 4 = 2, com x ≤ - 5/3, x = - 3/2
> - 5/3 ou seja, x = - 3/2 não é raiz da
equação.
De 2x + 6 = 2, com - 5/3 ≤ x ≤ 1, x = - 2
< - 5/3 ou seja, x = - 2 não é raiz da equação.
De 4x + 4 = 2, com x ≥ 1, x = -1 < 1
ou seja, x = - 1 não é raiz da equação.
Assim, a equação |3x + 5| + |x - 1| = 2
não admite raízes, o que faz com
que a questão não
apresente resposta correta.
9. (Mackenzie 2017)
Se (2 + i)/(β
+ 2i) tem parte imaginária igual a zero, então o número real β é igual a :
a) 4
b) 2
c) 1
d) -
2
e) -
4
Resposta da questão 9:[A]
De
(2 + i)/(β + 2i) = [(2 + i)/(β + 2i)] . [(β - 2i)/(β - 2i)] =
(2β
– 4i + βi – 2i2)/(β2 – 4i2) = [(2β + 2) + (β -
4)i]/(β2 + 4) =
(2β
+ 2)/(β2 + 4) + (β - 4)i/(β2
+ 4) → (β - 4)/(β2 + 4) = 0 → β = 4
10.
(Mackenzie 2017) Os valores de R, P e A para que a igualdade (2x2 + 5x - 1)/(x3
- x) = R/x + P/(x + 1) + A/(x - 1) seja uma identidade são, respectivamente,
a) 3,
1 e - 2
b) 1,
-2 e 3
c) 3,
-2 e 1
d) 1,
3 e - 2
e) –
2, 1 e 3
Resposta
da questão 10:[B]
Para que (2x2 + 5x - 1)/(x3
- x) = R/x + P/(x + 1) + A/(x - 1) seja uma
identidade, devemos ter:
(2x2 + 5x - 1)/(x3
- x) Ξ R(x + 1)(x - 1)/ (x3 - x) + Px(x - 1)/ (x3 - x) +
+ Ax(x
+ 1)/ (x3 - x)
(2x2 + 5x - 1) Ξ R(x2
- 1) + P(x2 - x) + A(x2 + x)
(2x2 + 5x - 1) Ξ Rx2
- R + Px2 - Px + Ax2 + Ax
(2x2 + 5x - 1) Ξ (R + P + A)x2
+ (A - P)x – R
R + P + A = 2 ; A – P = 5 e R = 1 → A + P
= 1 e A – P = 5
2A = 6 → A = 3 e P = - 2
Assim, os valores de R, P e A são,
respectivamente iguais a 1, - 2 e 3.
11.
(Mackenzie 2017) Para a matriz quadrada M o valor do determinante
de
M10 é :
a) 1/16
b) 1/32
c) 1/64
d) 1/128
e) 1/256
Resposta
da questão 11:[B]
Pela regra de Sarrus,
det M = (cos170.1.cos280
+ 0.1.sen280 + sen170.1.0) - (sen170.1.sen280
+
det M = cos 450 = √2/2 → det M10
= (√2/2)10 → det M = 1/32
12.
(Mackenzie 2017) Considerando m e n raízes da equação, onde x >
0,
então
m + n é igual a :
a) 2/3
b) 3/4
c) 3/2
d) 4/3
e) 4/5
Resposta
da questão 12:[C]
Pela Regra de Sarrus,
Então, 3.2x. log2x2
– 3.8x.log2x = 0 → 3.2x. 2log2x –
3.23x.log2x = 0 →
2x. log2x( 3.2 –
3.22x) = 0 → 2x. log2x = 0 ou ( 3.2 – 3.22x)
= 0 →
2x. log2x = 0 → 2x
= 0 ou log2x = 0
ou ( 3.2 – 3.22x) = 0 →
● 2x = 0 → não existe um número x que eleve 2 e resulte em zero
● log2x = 0 → 20
= x → x = 1
● ( 3.2 – 3.22x) = 0 → 3.2 =
3.22x → 2 = 22x → 1 = 2x → x = 1/2
Portanto m + n = 1 + 1/2 = 3/2
13. (Mackenzie 2017) O
número de soluções que a equação 4 cos2x – cos 2x + cos x = 2 admite
no intervalo [0 , 2π] é :
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Resposta
da questão 13:[D]
4
cos2x – cos 2x + cos x = 2 → 4 cos2x – (cos2x
– sen2x) + cos x = 2 →
4
cos2x – cos2x + sen2x + cos x = 2 → 3 cos2x
+ (1 – cos2x) + cos x = 2 →
3
cos2x + 1 – cos2x + cos x = 2 → 2 cos2x + cos x – 1 = 0 → Δ = 9
cos
x = (- 1 ± 3)/4 → cos x = 1/2 ou cos x = - 1.
Portanto
cos x = 1/2 → x = π/3 ou x = 5π/3 e cos x = - 1 → x
= π
Assim, a equação admite três soluções.
