QUESTÕES VESTIBULAR – G1 EPCAR - 2017 (CPCAR) - COMENTADAS

    

  

1. Considere, em R, a equação (m+2)x²-2mx+(m-1)=0 na variável x, em que m é um número real diferente de -2. Analise as afirmativas abaixo e classifique-as em V (verdadeira) ou F (falsa).

(     ) Para todo m>2 a equação possui conjunto solução vazio.

(     ) Existem dois valores reais de m para que a equação admita raízes iguais.

(     ) Na equação, se ∆>0, então m só poderá assumir valores positivos.

A sequência correta é

a) V – V – V   

b) F – V – F   

c) F – F – V   

d) V – F – F   

  

2. João, ao perceber que seu carro apresentara um defeito, optou por alugar um veículo para cumprir seus compromissos de trabalho. A locadora, então, lhe apresentou duas propostas:

- plano A, no qual é cobrado um valor fixo de R$50,00 e mais R$1,60 por quilômetro rodado.

- plano B, no qual é cobrado um valor fixo de R$64,00 mais R$1,20 por quilômetro rodado.

João observou que, para certo deslocamento que totalizava k quilômetros, era indiferente optar pelo plano A ou pelo plano B, pois o valor final a ser pago seria o mesmo.

É correto afirmar que K é um número racional entre

a) 14,5 e 20

b) 20  e 25,5   

c) 25,5 e 31  

d) 31 e 36,5   

  

3. No concurso CPCAR foi concedido um tempo T para a realização de todas as provas: Língua Portuguesa, Matemática e Língua Inglesa; inclusive marcação do cartão-resposta.

Um candidato gastou 1/3 deste tempo T com as questões de Língua Portuguesa e 25% do tempo restante com a parte de Língua Inglesa.

A partir daí resolveu as questões de Matemática empregando 80% do tempo que ainda lhe restava. Imediatamente a seguir, ele gastou 5 minutos preenchendo o cartão-resposta e entregou a prova faltando 22 minutos para o término do tempo T estabelecido.

É correto afirmar que o tempo T, em minutos, é tal que

a) T < 220   

b) 220 ≤ T < 240   

c) 240 ≤ T < 260   

d) T ≥ 260

  

  

4. Um grupo de n alunos sai para lanchar e vai a uma pizzaria. A intenção do grupo é dividir igualmente a conta entre os n alunos, pagando, cada um, p reais. Entretanto, 2 destes alunos vão embora antes do pagamento da referida conta e não participam do rateio. Com isto, cada aluno que permaneceu teve que pagar (p+10) reais.

Sabendo que o valor total da conta foi de 600 reais, marque a opção INCORRETA.

a) O valor que cada aluno que permaneceu pagou a mais corresponde a 20% de p   

b) n é um número maior que 11   

c) p é um número menor que 45   

d) O total da despesa dos dois alunos que saíram sem pagar é maior que 80 reais.   

  

5. Sobre a equação  2 / (x+√2-x²) + 2 / (x-√2-x²) = x respeitando sua validade no universo dos números reais, analise as afirmativas.

I. Possui duas raízes irracionais.

II. Não possui raízes negativas.

III. Possui conjunto solução com um único elemento.

Pode-se afirmar, então, que

a) todas são verdadeiras.   

b) apenas a I é falsa.   

c) todas são falsas.   

d) apenas a III é verdadeira.   

  

  

6. Sejam Q(x) e R(x) o quociente e o resto, respectivamente, da divisão do polinômio x³-6x²+9x-3 pelo polinômio x²-5x+6, em que x real.

O gráfico que melhor representa a função real definida por P(x) = Q(x) + R(x) passa pelo ponto:

a) (0,2)

b) (2,2)

c) (-2,0)

d) (-2,-2) 

  

7. Certa máquina, funcionando normalmente 5 horas por dia, gasta 3 dias para produzir 1200 embalagens.

Atualmente está com esse tempo de funcionamento diário reduzido em 20% trabalhando, assim, apenas T horas por dia.

Para atender uma encomenda de 1840 embalagens, aproveitando ao máximo em todos os dias o seu tempo T de funcionamento, ela gastará no último dia

a) 120 minutos   

b) 150 minutos   

c) 180 minutos   

d) 200 minutos   

  

8. Analise as proposições abaixo e classifique-as em V (verdadeira) ou F (falsa).

(     ) Se m = 0,0001.(0,01)².1000 / 0,001 então m = 1 /100

(     ) O número ( 0,899² – 0,101² ) é menor que 7/10

(     ) √(2^{√2 + 1).(√2-1)} . √4√(2^{(√3+1)(√3-1)} é irracional.

A sequência correta é

a) V – F – F   

b) V – F – V   

c) F – F – F   

d) F – V – V   

  

9. Uma agência de turismo fez um levantamento para apurar a faixa etária de um grupo de N pessoas que se interessaram por determinada viagem.

No registro das idades dessas pessoas, em anos, foram utilizados exatamente N números inteiros positivos e entre esses números foi observado que:

- 10 eram múltiplos de 8,

- 12 eram múltiplos de 4 e

- 8 eram números primos.

É correto afirmar que número de divisores positivos de N é igual a

a) 7   

b) 6   

c) 5   

d) 4   

10. Considere a = 11⁵⁰, b = 4¹⁰⁰ e c = 2¹⁵⁰ e assinale a alternativa correta.

a) c<a<b   

b) c<b<a   

c) a<b<c   

d) a<c<b   

  

11. Simplificando as expressões :

A = {[1-(y/x)²].x²} / (√x-√y)²+2√xy   e    B = (x²-xy) / 2x  nas quais y > x > 0, é correto afirmar que :

a) A/B = 1/2   

b) B/A é Real   

c) A . B > 0   

d) A + B > 0   

                                              Gabarito Comentado  

Resposta da questão 1:
 [D]

Calcularemos, inicialmente, o discriminante da equação:

∆ = (-2m)² – 4.(m+2) . (m-1) = 4m² – 4(m²-m+2m-2) = -4m + 8

Verdadeira. A equação dada terá como solução o conjunto vazio se:

-4m + 8 < 0 → -4m < -8→m > 2

Falsa. Para que a equação admita duas raízes reais e iguais devemos ter:

-4m+8 = 0 → -4m = -8 → m = 2

Falsa. Existem números negativos neste intervalo.

-4m+8 > 0 → -4m > -8 → m < 2

Logo, a sequência pedida é a V - F - F.  

Resposta da questão 2:
 [D]

Considerando que k seja o número de quilômetros rodados e A(x) o valor de locação no plano A e B(x) o valor de locação no plano B.

Como A(x) =  50 + 1,6k e B(x) = 64 + 1,2k ,então fazendo A(x) = B(x), temos:

50 + 1,6k = 64 + 1,2k → 0,4k = 14 → k = 35km, portanto, 31 < 35 < 36,5  

Resposta da questão 3:
 [D]

Tempo utilizado para as questões de Língua Portuguesa: T/3

Tempo utilizado para as questões de Língua Inglesa: 1/4 . 2T/3 = T/6

Tempo utilizado para as questões de Matemática: 80/100 ( 1–T/3–T/6 ) = 2T/5

Tempo utilizado para o preenchimento do cartão de respostas: 5 minutos.

Tempo que sobrou depois de ter entregado a prova: 22 minutos.

Temos então a seguinte equação:

T/3 + T/6 + 2T/5 + 5 + 22 = T → (10T + 5T + 12T + 150 + 660)/30 = 30T/30 →3T = 810 →T = 270 minutos. Portanto T ≥ 260.

  

Resposta da questão 4:
 [C]

Valor que cada aluno deveria pagar: p = 600/n

Valor referente aos alunos que foram embora: 2p = 2.600/n

Os outros alunos pagaram 10 a mais cada um pra suprir a dívida dos colegas que foram embora, portanto:

(n-2).10 = 2.600/n →n²-2n-120=0 →n=12 ou n = -10 ( não convém )

Considerando, então, n=12, temos p=50

Analisando cada uma das alternativas, temos:

[A] Correta, pois 20% de 50 = 10.

[B] Correta, pois n=12>11

[C] Incorreta, pois p=50>45

[D] Correta, pois 2.50=100>80

  

Resposta da questão 5:
 [B]

Condição de Existência: x + √2-x² = 0 ; x - √2-x² ≠ 0 e 2-x² > 0

Resolvendo a equação, temos:

2/ [x + √(2-x²)]  + 2/ [x - √(2-x²)] = x

{2[x - √(2-x²)] + 2[x + √(2-x²)]} / [x - √(2-x²)]. [x + √(2-x²)] =

 x[x + √(2-x²)].[ x - √(2-x²)] / [x + √(2-x²)].[ x - √(2-x²)] =

(4x) / [x + √(2-x²)].[ x - √(2-x²)] = (2x³-2x) / [x + √(2-x²)].[ x - √(2-x²)]

2x³ – 6x =0 → 2x(x² – 3)=0→ x = 0 ou x ±√3

Considerando x=0, a condição de existência é verificada, mas para x=±√3, a condição 2 – x² > 0 não é verificada, pois 2 – (±√3)² < 0

Logo, o conjunto solução desta equação será dado por: S = {0}

Estão corretas as afirmações [II] e [III]. Apenas a [I] é falsa.  

Resposta da questão 6:
 [A]

Efetuando a divisão dos polinômios, temos:

X³ – 6x² + 9x – 3   │  x² – 5x + 6

-x³ + 5x² – 6x             x – 1

---------------------

       -x² + 3x – 3

        X² – 5x + 6

----------------------

             -2x + 3

Portanto, P(x) = x – 1 – 2x + 3 → P(x) –x + 2, então o gráfico passa por (0,2)

Portanto, a melhor opção é a letra [A].  

Resposta da questão 7:
 [C]

5h – 20% de 5h = 5 – 1 = 4h ( diárias )

Dias          Horas trabalhadas por dia          Número de embalagens

   3                         5                                                1200

   X   ↓                    4   ↑                                          1840   ↓             

 3/x = 4/5 . 1200/1840 → 3/x = 12/23 → x = 5,75

Logo, no último dia o tempo total utilizado foi 0,75 do tempo diário, ou seja, 0,75 de 4h = 3h = 180 minutos

  

Resposta da questão 8:
 [A]

Verdadeira.

m = 0,0001.(0,01)².1000 / 0,001 então m = 10^-4.(10^-2)².10³ / 10^-3 = 10^-2 = 1/100

Falsa.

( 0,899² – 0,101² ) = (0,899 + 0,101).(0,899 – 0,101) = 0,789 > 7/10

Falsa.

√(2^{√2 + 1).(√2-1)} . √4√(2^{(√3+1)(√3-1)} = √(2^{(2 – 1)} .√4√(2^(3-1) = √2.√8=4,

que é racional

Logo, a sequência pedida é V - F - F.  

Resposta da questão 9:
 ANULADA

Gabarito Oficial: Anulada.

Gabarito Provisório: [B]

Considerando que todos os múltiplos de 8 também são múltiplos de 4, podemos escrever que N = 12 + 8 = 20

Escrevendo todos os divisores positivos de 20, temos: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.

Portanto, N possui 6 divisores.

Motivo do cancelamento: O problema não deixou claro que não haviam outros números, além dos citados no enunciado. Trata-se de uma observação muito rigorosa, mas que deveria ser considerada.  

Resposta da questão 10:
 [A]

a = 11⁵⁰

b = 4¹⁰⁰ = (4²)⁵⁰ = 16⁵⁰

c = 2¹⁵⁰ = (2³)⁵⁰ = 8⁵⁰

8⁵⁰ < 11⁵⁰ < 16⁵⁰ → c < a < b

  

Resposta da questão 11:
 [C]

A = {[1-(y/x)²].x²} / (√x-√y)²+2√xy  = ( x² – y² ) /(x+y) = x - y

B = (x²-xy) / 2x = x(x-y)/2x = (x-y)/2

Como y>x>0, concluímos que A<0 e B<0 portanto, A>B>0