1.(Uerj 2017) Crianças de uma escola participaram de uma campanha de vacinação contra
a paralisia infantil e o sarampo. Após a campanha, verificou-se que 80% das
crianças receberam a vacina contra a paralisia, 90% receberam a vacina contra o
sarampo, e 5% não receberam nem uma, nem outra. Determine o percentual de
crianças dessa escola que receberam as duas vacinas.
Resposta da questão 1:
Seja p o percentual pedido.
Tem-se que : (80% - p) + p + (90% - p) +
5% = 100% → p = 75%
2. (Uerj 2017) Para construir uma caixa com a forma de um paralelepípedo retângulo, foi
usado um quadrado de cartolina de 12cm de lado. Nessa cartolina, recortou-se um
dodecágono com quatro lados medindo x cm e oito lados medindo (x/2 + y) cm. A
caixa tem altura y e sua base é um quadrado de lado x. Observe as ilustrações:
Sabe-se que o
gráfico a seguir representa uma função polinomial de variável real definida por
P(x) = - x3 + ax2, sendo a um número real positivo. Para x
> 0 , P(x) assume valor máximo em x1 = 2a/3.
Com base nessas informações, calcule o maior volume que essa caixa pode assumir.
Resposta da questão 2:
Tem-se que 2.(y + x/2) + x = 12 → y = 6 – x, com 0 < x < 6.
Logo, o volume, V,
da caixa é dado por V = x . x . y = - x3 + 6x2 = P(x)
Portanto, segue que a = 6
, vem x1 = 2.6/3 = 4.
A resposta é P(4) = -43 + 6.42
= 32 cm3
3. (Uerj 2017) Observe o plano cartesiano a seguir, no qual estão representados os
gráficos das funções definidas por f(x) = 2x+1, g(x) = 8 e h(x) = k,
sendo x ε R e k uma constante real.
No retângulo ABCD, destacado no
plano, os vértices A e C são as interseções dos gráficos f Ո h e f Ո g,
respectivamente. Determine a área desse retângulo.
Resposta da questão 3:
A abscissa do ponto C, xC , é tal que f(x) = g(x) → 2x+1 = 8 → xC = 2
Logo, a ordenada do
ponto C, yC = f(xC), é yC
= 8
Ademais, a ordenada do
ponto A, yA = f(xA), é
igual a f(0) ou seja, yA = 2.
Portanto, como xB =
xC e YB = yA , segue que a resposta é dada por
(ABCD) = (xB
- xA) . (yC - yB) = 2 . 6 = 12 u.a.
4. (Uerj 2017) Um capital de C reais foi investido a juros compostos de 10% ao mês e
gerou, em três meses, um montante de R$ 53240,00. Calcule o valor, em reais, do
capital inicial C.
Resposta da questão 4:
Sendo i = 10% = 0,1 e n = 3 vem, 53240 = C(1 + 0,1)3 → C = 53240/1,331
C = R$ 40000,00
5. (Uerj 2017) Em uma atividade nas olimpíadas de matemática de uma escola, os alunos
largaram, no sentido do solo, uma pequena bola de uma altura de 12 m. Eles
observaram que, cada vez que a bola toca o solo, ela sobe e atinge 50% da
altura máxima da queda imediatamente anterior.
Calcule a distância total, em metros,
percorrida na vertical pela bola ao tocar o solo pela oitava vez.
Resposta da questão 5:
A resposta é dada por 12 + 12 + 12 . 1/2 + ... + 12 . (1/2)6 =
12 + 12 . [1 - (1/2)6]
/ (1-1/2) = 12 + 12 . 63/32 ≈ 36 m
6. (Uerj 2017) Uma criança possui um cofre com 45 moedas: 15 de dez centavos, 15 de
cinquenta centavos e 15 de um real. Ela vai retirar do cofre um grupo de 12
moedas ao acaso. Há vários modos de ocorrer essa retirada. Admita que as
retiradas são diferenciadas apenas pela quantidade de moedas de cada valor. Determine
quantas retiradas distintas, desse grupo de 12 moedas, a criança poderá
realizar.
Resposta da questão 6:
Sejam x, y e z, respectivamente, o número de moedas de dez centavos, o número de moedas de cinquenta centavos e o número de moedas de um real, de tal sorte que x + y + z = 12.
Queremos calcular o
número de soluções inteiras não negativas dessa equação. Tal resultado
corresponde ao número de combinações completas de 3
objetos tomados 12 a 12 isto é, CR312 = (3+12-1)!/12!
= 91
7. (Uerj 2017) Considere a circunferência C de equação x2 + y2 –
8x + 8=0, representada graficamente a seguir.
Determine as equações das retas r e s
que passam pela origem e são tangentes à circunferência.
Resposta da questão 7:
Seja y = mrx, com mr > 0 a equação da reta r. Se r é tangente a C, então o
discriminante da
equação x2 + (mrx)2 – 8x + 8 = 0 →( mr2
+ 1)x2-8x+8 = 0
é igual a zero. Logo,
temos (-8)2 – 4.(mr2 + 1).8 = 0 → mr
= 1
Ademais, sendo y = msx com ms
< 0 concluímos, por um
raciocínio
inteiramente análogo,
que ms = -1.
Portanto, as equações
das retas r e s, são, respectivamente, y = x
e y = - x
8. (Uerj 2017) O proprietário de uma lanchonete vai ao supermercado comprar sardinha e
atum enlatados. Cada lata de sardinha pesa 400g, e cada lata de atum, 300g.
Como sua bolsa de compras suporta até 6,5kg, ele decide comprar exatamente 6kg.
dessas latas. Sabe-se que foi comprada pelo menos uma lata de cada pescado.
Resposta da questão 8:
Sejam s e a, respectivamente, o número de latas de sardinha e o número
de latas de atum, com s ≥ 1, a
≥ 1 e s,a ε Z+*.
Logo, vem 300s + 400ª =
6000 → a = (60-3s)/4
Para que o total de
latas seja máximo, o número de latas de atum deve ser mínimo e o de sardinhas
deve ser máximo. Assim, vem s = 16 e a
= 3. Em consequência, a
resposta é s + a = 19.
Determine o maior número possível de
latas que o proprietário da lanchonete poderá comprar.
9. (Uerj 2017) O treinador de um time de futebol desconhece a média das idades de seus 11
jogadores. Porém, ele possui as seguintes informações:
- o capitão tem 30 anos;
- o goleiro tem 23 anos;
- a média de idade do time sem esses
dois jogadores é um ano menor do que a média de idade do time completo.
Calcule a média de idade do time
completo.
Resposta da questão 9:
Sejam x1, x2, ..., x9 as idades desconhecidas. Logo, temos
(∑19
xi) / 9 = [(∑19 xi + 23 = 30) / 11]
– 1 → 11. (∑19 xi) = (∑19
xi + 477 - 99) →
(∑19
xi) = 189 . Por conseguinte, a resposta é (189 + 53) / 11 = 22.
10. (Uerj 2017) Ao coletar os dados para um estudo topográfico da margem de um lago a
partir dos pontos A, B e T, um técnico determinou as medidas AT = 32m, BT = 13m
e ATB = 1200 representadas no esquema abaixo.
Calcule a distância, em metros, entre
os pontos A e B, definidos pelo técnico nas margens desse lago.
Resposta da questão 10:
Tem-se, pela Lei dos Cossenos, que a resposta é
AB2 = AT2
+ BT2 – 2 . AT . BT . cos ATB → AB2 = 322 + 132
– 2.32.13 . (-1/2)
AB = √1609 → AB ≈ 40 m.
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