QUESTOES VESTIBULAR FGV 2017 - COMENTADAS

1.(Fgv 2017)  Na tabela de 8 colunas e infinitas linhas numeradas, indicada na figura, podemos formar infinitos quadrados coloridos 3x3, como mostra um exemplo.

                              

Nessa tabela, o quadrado colorido 3x3 cuja soma dos 9 elementos é igual a 4806 ocupa três linhas, sendo uma delas a linha :

a) 71   

b) 67   

c) 53   

d) 49   

e) 41   

  

Resposta da questão 1:[B]

Seja o quadrado colorido 

  K             K + 1        K + 2

K + 8         K + 9        K + 10

K + 16       K + 17      K + 18

com K ε N*^. Logo, sabendo que a soma dos nove elementos desse

quadrado é igual a 4806,  temos 3k+24+3k+27+3k+30=4806 →

9k + 81 = 4806 → k = 525.

Portanto, escrevendo 525 como 525 = 8.65+5 = 8.65+8–8+3=8.65-5,

e observando que todo elemento da coluna 3 é da forma 8n-5, com n, 

sendo o número da linha a que pertence tal elemento, podemos concluir

que as linhas ocupadas pelo quadrado colorido dado são 66, 67 e 68.   

2. (Fgv 2017)  As cidades A, B, C e D estão ligadas por uma rodovia, como mostra a figura seguinte, feita fora de escala.

Por essa rodovia, a distância entre A e C é o triplo da distância entre C e D, a distância entre B e D é a metade da distância entre A e B, e a distância entre B e C é igual a 5 km. Por essa estrada, se a distância entre C e D corresponde a x% da distância entre A e B, então x é igual a :

a) 36   

b) 36,5   

c) 37   

d) 37,5   

e) 38   

Resposta da questão 2:[D]

Sejam y e z respectivamente, a distância entre A  e B  e a distância entre C e D, pela rodovia. Logo, vem :

y + 5 = 3z e 5 + z = y/2  → y = 3z – 5 e y = 2z + 10 → y = 40 km e z = 15 km  

Portanto, segue que 15/40 . 100% = 37,5% e, assim, a resposta é 37,5.   

3. (Fgv 2017)  Os pontos de coordenadas cartesianas (2,3) e (-1,2) pertencem a uma circunferência. Uma reta que passa, necessariamente, pelo centro dessa circunferência tem equação :

a) 3x – y + 9 = 0   

b) 3x + y - 9 = 0   

c) 3x + y - 4 = 0   

d) x + 3y - 4 = 0   

e) x + 3y - 9 = 0   

  

Resposta da questão 3: [C]

Sejam A e B dois pontos de uma circunferência λ qualquer. A única reta do plano que necessariamente passa pelo centro de λ é a mediatriz da corda determinada por A e B. Em consequência, se M = (1/2, 5) é o ponto médio da corda definida por A = (2, 3) e B = (-1, 2), então segue que a resposta é y - 5/2 = -(2 - (-1))/(3-2) . (x-1/2) → 3x + y – 4 = 0

  

4. (Fgv 2017)  O quadrado PQRS está inscrito em um círculo de centro C. A corda intersecta a diagonal do quadrado em A, sendo que QA = 6 cm e AB = 4 cm.

     

     

                            

Nas condições descritas, a medida do lado do quadrado PQRS em cm, é igual a :

a) 2√10   

b) 5√2   

c) 2√15   

d) 6√2   

e) 7√2   

  

Resposta da questão 4:[C]

Considere a figura, em que l é a medida do lado do quadrado PQRS.

                                      

É fácil ver que os triângulos BQS  e CQS são semelhantes por AA. Ademais, como QS = l√2 e C é ponto médio de QS, temos

QC/QB = QA/QS → (l√2/2)/10 = 6/l√2 → l² = 60 → l = 2√15 cm

  

5. (Fgv 2017)  As torneiras A, B e C, que operam com vazão constante, podem, cada uma, encher um reservatório vazio em 60 horas, 48 horas e 80 horas, respectivamente. Para encher esse mesmo reservatório vazio, inicialmente abre-se a torneira A por quatro horas e, em seguida, fecha-se a torneira A e abre-se a torneira B por quatro horas. Por fim, fecha-se a torneira B e abre-se a torneira C até que o reservatório se encha por completo. De acordo com o processo descrito, o tempo necessário e suficiente para encher o reservatório por completo e sem transbordamento é de :

a) 84 horas.   

b) 76 horas.   

c) 72 horas.   

d) 64 horas.   

e) 60 horas.   

  

Resposta da questão 5:[B]

Seja t o número de horas que a torneira C ficará aberta, de modo que o reservatório fique cheio. Assim, temos : 1/60 . 4 + 1/48 . 4 + 1/80 . t = 1

T = 68 h

Portanto, a resposta é 4 + 4 + 68 = 76  horas.  

6. (Fgv 2017)  Em uma prova de matemática de 10 questões, cada questão vale zero ou um ponto, não havendo pontuações intermediárias. Concede-se conceito C para os alunos que fizerem de 5 a 6 pontos, conceito B para os que fizerem de 7 a 8 pontos, e A para os que fizerem de 9 a 10 pontos. Alunos que fizerem menos do que 5 pontos recebem conceito insatisfatório. A respeito do desempenho dos alunos de uma classe nessa prova, sabe-se que nenhum deles recebeu conceito insatisfatório, 20% receberam conceito A, 36 alunos não receberam conceito A e x% dos alunos receberam conceito C, sendo x um número inteiro positivo.

Apenas com os dados informados, é possível concluir que a pontuação dos alunos que tiraram conceito A ou conceito B nessa prova pode ter sido, no máximo, igual a :

a) 162    

b) 226    

c) 234    

d) 290    

e) 306    

 Resposta da questão 6:[E]

Sejam a, b e c, respectivamente, o número de alunos que receberam A, o número de alunos que receberam B e o número de alunos que receberam C. Logo, tem-se que 0,8.(a + b + c) = 36 → a + b + c = 45.

Em consequência, vem a = 0,2.45 = 9 e, assim, encontramos

B + x/100 . 45 = 36 → b = 36 – 9x/20.

Sabendo que x é um inteiro positivo, deve-se ter x mínimo a fim de maximizarmos b, isto é, x = 20. Portanto, é fácil concluir que o valor máximo de b é 27.     

A soma dos pontos obtidos pelos alunos que tiraram A ou B é máxima quando todos os alunos obtêm o máximo de pontos em cada conceito, ou seja, 9.10 + 27.8 = 306.  

7. (Fgv 2017)  Aníbal, Cláudio, Daniel, Rafael e Renato são interrogados na investigação do roubo de uma joia. Sabe-se que apenas um deles cometeu o roubo. No interrogatório, as seguintes falas foram registradas:

Renato: “Aníbal roubou a joia”.

Aníbal: “Cláudio não roubou a joia”.

Rafael: “Daniel roubou a joia”.

Daniel: “Aníbal não roubou a joia”.

Cláudio: “Renato roubou a joia”.

Se apenas três dos cinco disseram a verdade em sua fala e se quem roubou a joia mentiu na sua fala, então, quem roubou a joia foi :

a) Aníbal.   

b) Cláudio.   

c) Daniel.   

d) Rafael.   

e) Renato.   

  

Resposta da questão 7:[E]

Se Renato falou a verdade, então ele não é o ladrão e, assim, Aníbal é o gatuno. Portanto, Aníbal mente e Cláudio é o ladrão, o que é absurdo.

Em consequência, Renato mentiu e Aníbal não roubou a joia. Logo, Aníbal fala a verdade e, portanto, Cláudio não é o ladrão. Mas se Cláudio não roubou a joia, então ele fala a verdade, implicando no fato de que Renato é o ladrão.  

8. (Fgv 2017)  A torre de controle de tráfego marítimo de Algés, em Portugal, tem o formato de um prisma oblíquo, com base retangular de área 247m². A inclinação da torre é de aproximadamente 76,7⁰, com deslocamento horizontal de 9 m da base superior em relação à base inferior do prisma.

Dados: sen 13,3⁰ = 0,23 ;  cos 13,3⁰ = 0,97 ;  tg 13,3⁰ = 0,24

Nas condições descritas, o volume do prisma que representa essa torre, aproximado na casa da centena, é igual a :

a) 9300 m³   

b) 8900 m³   

c) 8300 m³   

d) 4600 m³   

e) 4200 m³   

 Resposta da questão 8:[A]

Seja h a altura do prisma. Logo, sabendo que tg76,7⁰ = 1/tg13,3⁰, temos

tg76,7⁰ = h/9 → h ≈9/0,24 → h ≈ 37,5 m

Portanto, a resposta é 247.37,5 ≈ 9300 m²  

 

  

9. (Fgv 2017)  Removendo um número do conjunto {11, 12, 17, 18, 23, 29, 30} formamos um novo conjunto com média aritmética dos elementos igual a 18,5. A mediana dos elementos desse novo conjunto é igual a :

a) 26,5   

b) 26,0   

c) 20,5   

d) 17,5   

e) 14,5   

  

Resposta da questão 9:[D]

Seja n o número retirado. Logo, desde que a soma dos elementos do

conjunto {11, 12, 17, 18, 23, 29, 30} é igual a 140, temos :

18,5 = (140-n)/6 → n = 29

Em consequência, o novo conjunto é {11, 12, 17, 18, 23, 29, 30}

A resposta é igual a (17+18)/2 = 17,5.  

10. (Fgv 2017)  A conta armada a seguir indica a adição de três números naturais, cada um com três algarismos, resultando em um número natural de quatro algarismos. Os algarismos que compõem os números envolvidos na conta, indicados pelas letras A, C, D e E, representam números primos distintos entre si.

                     AEC + CDD + EAE = 1CDC

Assim, o valor de E . D = A . C é igual a :

a) 35   

b) 33   

c) 31   

d) 29   

e) 27   

Resposta da questão 10:[C]

Se A, C, D e E são primos distintos, então {A, C, D, E} = {2, 3, 5, 7}. Além

disso, temos AEC + CDD + EAE = 1CDC → 110(A + E) + D + E = 1000.

Donde segue que D + E = 10 e, portanto, A + E = 9. Em consequência, só pode ser A = 2, D = 3, E = 7  e C= 5     

A resposta é 7 . 3 + 2 . 5 = 31  

11.(Fgv 2017)  Uma parábola P₁ de equação y = x² + bx + c, quando refletida em relação ao eixo x, gera a parábola P₂. Transladando horizontalmente P₁ e P₂ em sentidos opostos, por quatro unidades, obtemos parábolas de equações y = f(x) e y = g(x). Nas condições descritas, o gráfico de y = (f + g)(x) necessariamente será :

a) uma reta.   

b) uma parábola.   

c) uma hipérbole.    

d) uma exponencial.   

e) um círculo.   

  

Resposta da questão 11:[A]

É imediato que a equação de P₂ é y = - x² – bx – c. Agora, devemos considerar dois casos:

(i)            P₁ deslocada para a esquerda e P₂ deslocada para a direita;

(ii)          P₁ deslocada para a direita e P₂ deslocada para a esquerda.

No primeiro caso, temos f(x) = (x+4)² + b(x+4) + c e g(x) = - (x-4)² - b(x-4) – c.

Logo, vem (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (x+4)² + b(x+4) + c  - (x-4)² - b(x-4) – c = 16x + 8b.

Por outro lado, no segundo caso, de maneira inteiramente análoga, encontramos (f + g)(x) = f(x) + g(x) = - 16x - 8b.

Assim, em qualquer caso, o gráfico de y = (f + g)(x)  é uma reta.  

12. (Fgv 2017)  O índice de Angstrom (iA) usado para alertas de risco de incêndio, é uma função da umidade relativa do ar (U) em porcentagem, e da temperatura do ar (T) em ⁰C. O índice é calculado pela fórmula

I_A = U/20 + (27-T)/10, e sua interpretação feita por meio da tabela a seguir.

	Condição de Ocorrência de Incêndio
IA > 4	improvável
2,5 < IA ≤ 4	desfavorável
2 < IA ≤ 2,5	favorável
1 < IA ≤ 2	provável
IA ≤ 1	muito provável
Tabela adaptada de www.daff.gov.za.

A temperatura T, em ⁰C, ao longo das 24 horas de um dia, variou de acordo com a função T(x) = - 0,2x² + 4,8x, sendo x a hora do dia (0 ≤ x ≤ 24). No horário da temperatura máxima desse dia, a umidade relativa do ar era de 35% (U = 35).

De acordo com a interpretação do índice de Angstrom, nesse horário, a condição de ocorrência de incêndio era

a) improvável.   

b) desfavorável.   

c) favorável.   

d) provável.   

e) muito provável.    

  

Resposta da questão 12: [D]

Sendo a temperatura máxima, T_MAX  igual a T_MAX  = - (4,8)²/4.(-0,2) = 28,8⁰C e U = 35  vem I_A = 35/20 + (27 – 28,8)/10 = 1,57.

Desse modo, no horário da temperatura máxima, a condição de ocorrência de incêndio era provável, já que 1 < 1,57 ≤ 2.  

13. (Fgv 2017)  Certo capital foi aplicado em regime de juros compostos. Nos quatro primeiros meses, a taxa foi de 1% ao mês e, nos quatro meses seguintes, a taxa foi de 2% ao mês. Sabendo-se que, após os oito meses de aplicação, o montante resgatado foi de R$ 65536,00, então o capital aplicado, em reais, foi aproximadamente igual a :

Dado: 65536 = 2¹⁶

a) 3,66⁸   

b) 3,72⁸      

c) 3,78⁸     

d) 3,88⁸      

e) 3,96⁸      

Resposta da questão 13:[E]

Seja C o capital aplicado. Logo, sabendo que o montante resgatado foi de R$ 65536,00, temos

65536 = C . (1,01)⁴. (1,01)² → C = 4⁸/1,0302⁴ → C = (4/√1,0302)⁸ ≈ 3,94⁸

Por conseguinte, podemos afirmar que o capital aplicado, em reais, foi aproximadamente igual a 3.96⁸  

14. (Fgv 2017)  Somando todos os números de três algarismos distintos que podem ser formados com os dígitos 1, 2, 3 e 4, o resultado será igual a :

a) 2400    

b) 2444   

c) 6000    

d) 6600    

e) 6660   

  

Resposta da questão 14:[E]

Podemos formar A_4,3 = 24 números de três algarismos com os dígitos disponíveis. Ademais, como temos quatro dígitos, segue que cada um figura 24/4 = 6 vezes em cada ordem e, portanto, tem-se que a resposta é

6.(1 + 2 + 3 + 4) + 10.6. (1 + 2 + 3 + 4) + 100.6.(1 + 2 + 3 + 4) = 6660   

  

15. (Fgv 2017)  O total de números de cinco algarismos que possuem pelo menos dois dígitos consecutivos iguais em sua composição é igual a :

a) 6581   

b) 9590   

c) 18621   

d) 27930   

e) 30951   

  

Resposta da questão 15:[E]

Existem 9.10.10.10.10 = 90000 números de cinco algarismos. Destes, temos 9. 9. 9. 9. 9 = 59049 números que não apresentam quaisquer dígitos consecutivos. Portanto, segue que o resultado é 90000 – 59049 = 30951.  

16. (Fgv 2017) O coeficiente de x¹² na expansão de (1 + x⁴ + x⁵)¹⁰ é igual a :

a) 120   

b) 90   

c) 81   

d) 60   

e) 54   

Resposta da questão 16:[A]

Sendo α₁, α₂ e α₃  números naturais, temos :

(1 + x⁴ + x⁵)¹⁰ = Ʃ [10!/ α₁!α₂!α₃!] . 1^α1.(x⁴)^α2.(x⁵)^α3 =

Ʃ [10!/ α₁!α₂!α₃!] . x^{4α2 + 5α3}

A fim de calcularmos o coeficiente de x¹² devemos resolver o sistema

α₁ + α₂ + α₃ = 10   e   4α₂ + 5α₃ = 12  

Portanto, como tal sistema possui solução única (α₁, α₂, α₃!) = (7, 3, 0), segue que a resposta é 10!/7!.3!.0! = 120.  

17. (Fgv 2017)  Um estudante de Economia precisa escolher exatamente duas dentre três disciplinas eletivas, que são: econometria, microeconomia, macroeconomia. A probabilidade de ele escolher econometria é a mesma que a de ele escolher microeconomia, cada uma igual a 62,55. A probabilidade de ele escolher econometria e microeconomia é de 25%. Sendo assim, a probabilidade de esse estudante escolher macroeconomia é igual a :

a) 3/4   

b) 18/25   

c) 2/3   

d) 5/8   

e) 3/5   

Resposta da questão 17:[A]

Suponhamos que o estudante escolherá necessariamente duas dentre três disciplinas. Daí, sabendo que a probabilidade de ele escolher econometria e microeconomia é de 0,25  podemos concluir que a resposta é 1 – 0,25 = 0,75 = 3/4 .  

18. (Fgv 2017)  Uma fração, definida como a razão entre dois inteiros, chama-se imprópria quando o numerador é maior ou igual ao denominador e chama-se decimal quando o denominador é uma potência de dez.

Dois dados convencionais, de seis faces equiprováveis, possuem cores diferentes: um deles é branco, e o outro preto. Em um lançamento aleatório desses dois dados, o número obtido no dado branco será o numerador de uma fração, e o obtido no dado preto será o denominador.

A probabilidade de que a fração formada seja imprópria e equivalente a uma fração decimal é igual a :

a) 17/36   

b) 1/2   

c) 19/36   

d) 5/9   

e) 7/12   

  

Resposta da questão 18: [C]

É imediato que existem 6 . 6 = 36  resultados possíveis. Dentre esses resultados, não são favoráveis: (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),(3,4), (3,5), (3,6), (4,3), (4,5), (4,6), (5,3) e (5,6).

Portanto, segue que a resposta é 1 - 17/36 = 19/36   

19. (Fgv 2017)  A probabilidade de ocorrência do evento A é igual a 3/4 e a de ocorrência do evento B é igual a 2/3. Apenas com essas informações, e sendo p a probabilidade de ocorrência de A e B, pode-se afirmar que o menor intervalo ao qual p necessariamente pertence é :

a) [1/12, 2/3]   

b) [1/2, 2/3]   

c) [1/12, 1/2]   

d) [5/12, 1/2]   

e) [5/12, 2/3]   

  

Resposta da questão 19:[E]

Supondo A e B eventos de um mesmo espaço amostral e sabendo que p = P(A∩B), pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, vem :

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)→p = 3/4 + 2/3 - P(AUB)→p = 17/12 - P(AUB)

Portanto, é fácil ver que p será mínima se P(AUB) = 1. Nesse caso, temos p = 5/12. Ademais, como P(B) < P(A), se B estiver contido em A, então AUB = A e, assim, vem P(AUB) = P(A), implicando em p = 2/3, valor máximo de p.          

Em consequência, a resposta é p ε [5/12, 2/3]   

  

20. (Fgv 2017)  O volume do cilindro circular reto que se obtém aumentando-se x metros no raio da base desse cilindro, com x ǂ 0 é igual ao do que se obtém aumentando-se x metros na sua altura.

Nessas condições, x é um :

a) produto de dois números primos.   

b) número primo maior do que 5   

c) número irracional.                               QUESTAO ANULADA

d) divisor de 64   

e) múltiplo de 7   

  

Resposta da questão 20: ANULADA

Sejam r e h, respectivamente, o raio e a altura do cilindro original. Assim, temos   π.(r + x)².h = π.r².(h + x) → x = r(r – 2h)/h

Daí, sabendo que x, r e h são reais positivos, temos r > 2h. Porém, nada mais pode se afirmar sobre x, a não ser que é um número real.  

21. (Fgv 2017)  Os pontos A(0, 1), B(1, 1), C(1, 0) e D(-k, -k), com k > 0 formam o quadrilátero convexo ABCD, com eixo de simetria sobre a bissetriz dos quadrantes ímpares.

                                    

O valor de K para que o quadrilátero ABCD seja dividido em dois polígonos de mesma área pelo eixo y é igual a :

a) (2 + √5)/4   

b) (3 + √2)/4   

c) (1 + √2)/2   

d) (1 + √3)/2   

e) (1 + √5)/2   

Resposta da questão 21:[E]

Seja E o ponto de interseção da reta que passa pelos pontos C e D com o eixo das ordenadas. A equação de tal reta é dada por

(y - 0) = (-k-0)/(-k-1) . (x-1) → y  = k/(k+1) . (x-1)

Em consequência, vem E = (0, - k/(k+1)  e, portanto, sendo k > 0, temos   

(ADE) = (ABCE) → 1/2 . ( 1 + k/(k+1)).k = k² – k – 1 = 0 → k = (1+√5)/2

  

22. (Fgv 2017)  Na representação gráfica do sistema de equações

x² + y² = 4 e 4x² – y = 2, no plano cartesiano, uma das soluções é (0, -2). A distância entre os pontos que representam as duas outras soluções desse sistema é igual a :

a) √14   

b) 7/2   

c) √15/2   

d) √14/2   

e) 3/2   

Resposta da questão 22: [C]

Tem-se que x² + y² = 4 e x² = (y+2)/4 → (y+2)(4y-7) = 0 e x² = (y+2)/4

y = - 2 ou y = 7/4 e x² = (y+2)/4 → x = 0 e y = -2 ou x = - √15/4 e y = 7/4 ou

x =  √15/4 e y = 7/4

Portanto, a resposta é √15/4 - (-√15/4) = √15/2  

  

  

23. (Fgv 2017)  Para todos os inteiros n de 1 a 2016, temos que:

a_n = 2, se log n for um numero inteiro e

a_n = ( - 1 )ⁿ , se log n não for um numero inteiro.

Sendo assim, a soma a₁ + a₂ + a₃ + ... + a₂₀₁₅ + a₂₀₁₆ é igual a :

a) 8   

b) 7   

c) 6   

d) -6   

e) -8   

Resposta da questão 23:[C]

É fácil ver que log n  será um número inteiro quando n  for uma potência de 10. Portanto, segue que a₁ = a₁₀ = a₁₀₀ = a₁₀₀₀ = 2.

Considere a sequência cujo termo geral é b_n = (-1)ⁿ, para todo n natural de 1 a 2016. Logo, é imediato que Ʃ_n=1²⁰¹⁶ b_n = 0. Ademais, subtraindo-se os termos b₁ = -1, b₁₀ = 1, b₁₀₀ = 1 e b₁₀₀₀ = 1, vem :

Ʃ_n=1²⁰¹⁶ b_n - (b₁ + b₁₀ + b₁₀₀ + b₁₀₀₀ ) = 0 – 2 = - 2

Por conseguinte, tem-se que a resposta é :

Ʃ_n=1²⁰¹⁶ a_n = 2 - (a₁ + a₁₀ + a₁₀₀ + a₁₀₀₀ ) = 6.

24. (Fgv 2017)  Para certos valores reais de K, o polinômio P(x) = x² – 6x + |2k - 7| é divisível por x – 1. A soma de todos esses valores é igual :

a) 8    

b) 7   

c) 5   

d) -1   

e) -5   

Resposta da questão 24:[B]

Se P é divisível por x – 1,  então P(1) = 0 → 1² – 6.1 + |2k - 7| = 0 →

|2k - 7| = 5 → 2k – 7 = ± 5 → 2k – 7 = 5 → k = 6 ou 2k – 7 = - 5 → k = 1

Portanto a resposta sera 1 + 6 = 7.

25. (Fgv 2017)  Suponha que fosse possível dar uma volta completa em torno da linha do Equador caminhando e que essa linha fosse uma circunferência perfeita na esfera terrestre. Nesse caso, se uma pessoa de 2 m de altura desse uma volta completa na Terra pela linha do Equador, o topo de sua cabeça, ao completar a viagem, teria percorrido uma distância maior que a sola dos seus pés em, aproximadamente,

a) 63 cm   

b) 12,6 cm   

c) 6,3 km   

d) 12,6 km   

e) 63 km   

Resposta da questão 25:[B]

Seja r a medida do raio da Terra na linha do Equador, em metros. Tem-se que a distância percorrida pelo topo da cabeça da pessoa é igual a

2π.(r + 2) ≈ (2πr + 12,6) m.

Em consequência, sendo 2πr a distância percorrida pela sola dos pés da pessoa, podemos concluir que o resultado é 12,6 m.  

26. (Fgv 2017)  Seja Z um número complexo cujo afixo P está localizado no 1º quadrante do plano complexo, e sejam I, II, III, IV e V os afixos de cinco outros números complexos, conforme indica a figura seguinte.

                                      

Se a circunferência traçada na figura possui raio 1 e está centrada na origem do plano complexo, então o afixo de 1/Z pode ser :

a) I.    

b) II.   

c) III.   

d) IV.   

e) V.   

  

Resposta da questão 26:[C]

Seja Z = x + yi, com i = √-1 , x > 1 e y > 1. Assim, vem :

1/Z = 1/(x+yi) . (x-yi)/(x-yi) = x/(x²+y²) – y.i/(x²+y²)

Portanto, como 0 < x/(x²+y²) < 1 e 0 < y/(x²+y²) < 1, tem-se que a imagem de 1/Z pode ser III.  

27. (Fgv 2017)  A equação algébrica x³ – 7x² + kx + 216 = 0, em que k é um número real, possui três raízes reais. Sabendo-se que o quadrado de uma das raízes dessa equação é igual ao produto das outras duas, então o valor de k é igual a :

a) - 64   

b) - 42   

c) - 36   

d) 18   

e) 24   

  

Resposta da questão 27:[B]

Sejam a, b  e c  as raízes da equação, com a² = bc. Logo, pelas Relações de Girard, segue que :

a + b + c = 7  ,  ab + ac + bc = k  e  abc = - 216

a + b + c = 7  ,  a(b + c) + a² = k  e  a³ = - 216

b + c = 13   ,   - 6.13 + 36 = k   e   a = - 6

b + c = 13 ,  k = - 42 e a = - 6

28. (Fgv 2017)  Uma esfera de raio r está apoiada sobre o chão plano em um dia iluminado pelo sol. Em determinado horário, a sombra projetada à direita do ponto onde a esfera toca o chão tinha comprimento de 10m como indica a figura.

                            

    

Nesse mesmo horário, a sombra projetada por uma vareta reta de 1m, fincada perpendicularmente ao chão, tinha 2m de comprimento. Assumindo o 5√5 - 10   paralelismo dos raios solares, o raio da esfera, em metros, é igual a :

a) 5√5 - 10   

b) 5√5 - 20      

c) 5√5 - 5      

d) 5√5 - 2      

e) 10√5 - 10      

Resposta da questão 28:[B]

Considere a figura, em que AO = OC = r é a medida do raio da esfera e ABC = 2Ɵ.

              

Sendo AB = 10m, temos tg ABO = AO/AB = r/10.

Por outro lado, como BC//EF, DF = 1 m e DE = 2 m, vem

tg DEF = DF/DE → tg2Ɵ = 1/2 → 2tgƟ/(1-tg²Ɵ) = 1/2  →

(2.r/10)/(1 - (r/10)²) = 1/2 → r² + 40r – 100 = 0 → r = (10√5 - 20) m

  

29. (Fgv 2017)  A única solução da equação sen2x.sen3x = cos2x.cos3x com 0⁰ ≤ x ≤ 90⁰, é :

a) 72⁰   

b) 36⁰   

c) 24⁰   

d) 18⁰   

e) 15⁰   

  

Resposta da questão 29:[D]

Lembrando que cos(a+b) = cosa.cosb – sena.senb, temos

sen2x.sen3x = cos2x.cos3x → cos2x.cos3x - sen2x.sen3x = 0

cos5x = 0 → 5x = ± 90⁰ + 360⁰k → x = ± 18⁰ + 72⁰.k, k ε Z

Portanto, da primeira equação vem x = 18⁰, para k = 0, e da segunda vem x = 54⁰ para k = 1.  

30. (Fgv 2017)  O dono de uma papelaria comprou uma grande quantidade de canetas de dois tipos, A e B, ao preço de R$ 20,00 e R$ 15,00 a dúzia, respectivamente, tendo pago na compra o valor de R$ 1020,00 No total, ele saiu da loja com 777 canetas, mas sabe-se que, para cada três dúzias de um mesmo tipo de caneta que comprou, ele ganhou uma caneta extra, do mesmo tipo, de brinde.

Nas condições descritas, o total de dúzias de canetas do tipo B que ele comprou foi igual a:

a) 52   

b) 48   

c) 45   

d) 41   

e) 37   

Resposta da questão 30: [B]

Sejam x e y, respectivamente, o número de dúzias compradas de canetas do tipo A e o número de dúzias compradas de canetas do tipo B. Tem-se que 20x + 15y = 1020 → 4x + 3y = 204.

Ademais, sendo 777 = 36.21 + 21, podemos concluir que ele ganhou 21 canetas e, portanto, comprou 3.21 = 63 dúzias de canetas. Em consequência, vem 4 .(63 - y) + 3y = 204 → y = 48.

  

31. (Fgv 2017)  Um fazendeiro dispõe de material para construir 60 metros de cerca em uma região retangular, com um lado adjacente a um rio.

Sabendo que ele não pretende colocar cerca no lado do retângulo adjacente ao rio, a área máxima da superfície que conseguirá cercar é:

a) 430 m²   

b) 440 m²   

c) 460 m²   

d) 470 m²   

e) 450 m²   

  

Resposta da questão 31: [E]

Calculando: y + 2x = 60 → y = 60 – 2x

S_retangulo = x.y = x.(60 - 2x) = 60x – 2x²

X_MAX. = - 60/2.(-2) = 15 → y_MAX.  = 30 → S_retangulo = x.y = 15.30 = 450 m²

  

32. (Fgv 2017)  Os pares (x, y) dados abaixo pertencem a uma reta r do plano cartesiano:

     

x	-4	-2	0	2	4
y	-24	-14	-4	6	16

 

Podemos afirmar que :

a) a reta r intercepta o eixo das abscissas no ponto de abscissa -4.   

b) o coeficiente angular da reta r é -5.   

c) a reta r determina com os eixos cartesianos um triângulo de área 1,6   

d) y será positivo se, e somente se, x> -4/5.   

e) A reta r intercepta o eixo das ordenadas no ponto de abscissa 4/5.   

  

Resposta da questão 32:[C]

Calculando:

                             

 

Analisando as alternativas:

[A] FALSA. A reta r intercepta o eixo das ordenadas no ponto de abscissa -4 

[B] FALSA. O coeficiente angular da reta r é 5. 

[C] VERDADEIRA. A reta r determina com os eixos cartesianos um triângulo de área 1,6. 

[D] FALSA. Se x = - 1/2 > - 4/5 → y = 5 .(-1/2) – 4 → y = - 13/2.

[E] FALSA. A reta r intercepta o eixo das abcissas no ponto de abscissa 4/5  

  

33. (Fgv 2017)  No início de certo ano, Fábio aplicou sua poupança em dois fundos de investimentos A e B, sendo A o de ações e B o de renda fixa. O valor aplicado em B foi o quádruplo do aplicado em A.

Um ano depois, Fábio observou que o fundo A rendeu -2% (perda de 2%) e o B rendeu 15%.

Considerando o total aplicado, a taxa anual de rentabilidade de Fábio foi:

a) 11,6%   

b) 11,8%   

c) 11,4%   

d) 11,2%   

e) 11,0%   

  

Resposta da questão 33:[A]

Calculando:  B = 4A → Total aplicado = A + B = A + 4B = 5B

A_final  = 0,98 A

B_final = 1,15B = 1,15.4A = 4,6A

Total_final  = A_final  +  B_final = 0,98A + 4,6A = 5,58ª

Taxa = (5,58A/5A - 1).100% = 11,6%

34. (Fgv 2017)  Um capital de R$ 5000,00 cresce em uma aplicação financeira de modo que seu montante daqui a t anos será M = 5000.e^0,2t.

Ao término do primeiro ano, o capital inicial terá crescido:

Use a tabela abaixo:
x	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
ex	1	1,1052	1,2214	1,3499	1,4918	1,6487

a) 10,52%   

b) 22,14%   

c) 34,99%   

d) 49,18%   

e) 64,87%   

  

Resposta da questão 34:[B]

Para t = 1 ano, M = 5000.e^0,2.1 = 5000.e^0,2 = 5000.1,2214 → M aumentou em 22,14%

35. (Fgv 2017)  Estima-se que, em determinado país, o consumo médio por minuto de farinha de trigo seja 4,8 toneladas. Nessas condições, o consumo médio por semana de farinha de trigo, em quilogramas, será aproximadamente:

a) 4,2.10⁵   

b) 4,4.10⁶    

c) 4,6.10⁶   

d) 4,8.10⁷   

e) 5,0.10⁷   

Resposta da questão 35:[D]

Calculando: 1 semana = 7 dias = 7.24 horas = 7.24.60 minutos = 10080 minutos.

4,8 toneladas = 4,8.10³ kg

Por semana = 4,8.10³.10080 ≈ 4,8.10⁷ kg