QUESTOES VESTIBULAR Ufjf – pism1 2017 – TIPO ANALITICA - COMENTADAS

1. (Ufjf-pism 1 2017)  Antônio, um fã de histórias em quadrinhos, decidiu confeccionar uma roupa para uma festa a fantasia. Para desenhar o símbolo da roupa, ele utilizou seus conhecimentos de matemática.

Considere a figura do símbolo abaixo.

 

                              

a) Considere o triângulo ABC, de lado AB medindo 80 mm e inscrito em uma semicircunferência de raio 50 mm e centro O. Calcule os comprimentos dos segmentos OD e DC sabendo-se que BD é uma altura do triângulo ABC. Considere π = 3.

b) Antônio deseja confeccionar o triângulo ABC e a semicircunferência de diâmetro DC com um tecido vermelho, e o restante do símbolo com um tecido azul. De quantos milímetros quadrados de cada tecido, Antônio vai precisar para confeccionar o símbolo para sua fantasia? Considere π = 3.

Resposta da questão 1:

 a) Sabendo que o triângulo está inscrito na semicircunferência, então o ângulo no vértice B é reto. Assim, o triângulo ABC é retângulo. Calculando:

    AC = 2R → AC = 2.50 = 100 mm

    AC² = AB² + BC² → 100² = 80² + BC² → BC = 60 mm

    AB . BC = BD . AC → 80 . 60 = BD . 100 → BD = 48 mm

    BC² = BD² + DC² →    60² = 48² + DC² → DC = 36 mm

    OD + DC = 50 → OD + 36 = 50 → OD = 14 mm

b) O símbolo de Antônio será:

                              

Calculando a área vermelha :

S_VERMELHA  S_ABC  + S_cirDC = 60.80/2 + π.(36/2)² = 2400 + 324π ≈ 3372 mm²

Calculando a área azul :

S_AZUL = S_cirAC + S_cirOC – S_ABC – S_cirDC = π.50² + π(50/2)² – 2400 - 324π

S_AZUL = 2500π + 625π – 2400 - 324π = 2801) – 2400 ≈ 6003 mm²

  

2. (Ufjf-pism 1 2017)  Um capital de R$ 1000,00 aplicado no sistema de juros compostos a uma taxa de 10% ao mês, gera, após n meses, o montante (que é o juro mais o capital inicial) é dado pela fórmula abaixo:

                                         M(n) = 1000(1 + 1/10)ⁿ

a) Qual o valor do montante após 2 meses?

b) Qual o número mínimo de meses necessários para que o valor do montante seja igual a R$ 10000,00.

(Use que log 11 = 1,04)

Resposta da questão 2:

 a) Calculando:

M(2) = 1000(1 + 1/10)² = 1000.(11/10)² = 1000.(11/10)² = 1000.(121/100) →

M(2) = R$ 1210,00

b) Calculando:

M(n) = 10000 → 10000 = 1000(1 + 1/10)ⁿ → 10 = (11/10)ⁿ →

log 10 = log (11/10)ⁿ → log 10 = n(log 11 - log10 → 1 = n . (1,04 - 1)

0,04n = 1 → n = 25 meses