1. (Ufjf-pism 3
2017) A soma dos algarismos de um número N de três
algarismos é 18, o algarismo da unidade é duas vezes maior do que o algarismo
da dezena. Trocando-se o algarismo das centenas com o algarismo das unidades
obtemos um número M maior que N em 198 unidades. Determine o número N.
Resposta da
questão 1:
Sendo N → abc , a + b + c = 18 e c = 2b, então :
N = 100a + 10b +
c , M = 100c + 10b + a e M = N + 198 →
100c +10b + a =
100a + 10b + c + 198 → 100c + a = 100a + c + 198
Atraves do
sistema de equações a + b + c = 18 , c = 2b e 99c – 99a = 198,
Obtemos a + b + c
= 18 , c = 2b e c – a = 2 → a + 3b = 18 e –a + 2b = 2 →
5b = 20 → b = 4 →
c = 8 → a = 6 → N = 648
2. (Ufjf-pism 3
2017) Considere no plano cartesiano o seguinte
conjunto de 13 pontos:
A = {(-3, 0),
(-2,0), (-1, 0), (0,0), (1, 0), (2,0), (3, 0), (0, -3), (0, -2), (0, -1),
(0, 1), (0, 2),
(0, 3)}
a) Quantos são
os triângulos cujos vértices pertencem ao conjunto A ?
b) Quantos são
os triângulos com vértices em A e dois de seus vértices sobre o eixo das
ordenadas?
Resposta da
questão 2:
a) O número total de triângulos será o número total de combinações
possíveis de pontos três a três, menos o
número de combinações de
pontos colineares. Assim, pode-se escrever:
n0 total → C13,3 =
13!/3!10! = 13.12.11/3.2 = 286
Pontos colineares sobre eixo y = { (0,0),(0, -3), (0, -2), (0, -1), (0, 1), (0, 2), (0, 3)} → C7,3
Pontos colineares sobre eixo x =
{(-3, 0), (-2,0), (-1, 0), (0,0), (1, 0), (2,0), (3, 0)} → C7,3
Pontos colineares → 2. C7,3 = 2.
7!/3!4! = 2 . 7.6.5/3.2 = 70
N0 de triângulos = 286 – 70 =
216
b) Todos os
pontos do conjunto dado estão sobre um dos eixos do plano
cartesiano. Assim, se dois vértices estão
sobre o eixo y, então o terceiro
vértice está necessariamente sobre o eixo x
(considerando o conjunto
dado). O número total de escolhas de dois
pontos sobre o eixo y será:
C7,2 = 7!/2!5! = 7.6/2 = 21
Para o terceiro vértice há 6
possibilidades de escolha (pontos sobre o eixo x) Assim, o número de triângulos
possíveis será de 21.6 =
126
3. (Ufjf-pism 3
2017) Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10.
Cada bola tem peso proporcional ao número marcado nela, de modo que, após o
sorteio de uma bola, a probabilidade de observarmos um número é proporcional a
este número, com a mesma constante de proporcionalidade para todos os números.
Determine a
probabilidade de sortearmos:
a) um número
ímpar.
b) um número
par, maior ou igual a 6.
Resposta da questão
3:
a) Seja p(n) a probabilidade de sortearmos o número n.
De acordo com o enunciado, pode-se escrever: K = constante de proporcionalidade
p(n) = n . k → p(1) = k → p(2) = 2k → p(3) =
3k → ... → p(10) = 10k →
p(1) + p(2) + p(3) + ... + p(10)
= 1 = 100%, ou seja,
K + 2K + 3K + ... + 10K = 1 → 55K = 1 → K
= 1/55
números ímpares = {1, 3, 5, 7, 9}
p(K)= p(1) + p(3) + p(5) + p(7) + p(9) =1/55
+ 3/55 + 5/55 + 7/55 + 9/55 =5/11
b) Calculando: p(X) = p(6) + p(8) + p(10) = 6/55 + 8/55 + 10/55
= 24/55
4. (Ufjf-pism 3
2017) Considere os pontos P(2, 4), Q(-1, 0) e S(-5,3).
a) Determine a
equação da reta contendo o segmento PQ da reta contendo o segmento PS e da reta
contendo o segmento QS
b) Considere o
triângulo de vértices P, Q e S. O triângulo dado é retângulo? Justifique sua
resposta.
c) Obtenha a
equação da circunferência que contém os pontos P, Q e S.
Resposta da questão
4:
a) Calculando : y – y0 = m . (x – x0) → 4 – 0 = mPQ . (2 + 1) → mPQ = 4/3
reta PQ → y – 0 = 4/3 . (x + 1) → y = 4/3 x
+ 4/3
4 – 3 = mPS . (2 + 5) → mPS =
1/7
reta PS → y – 4 = 1/7 . (x - 2) → y = 1/7 x
+ 26/7
3 – 0
= mQS . (- 5 + 1) → mPQ = -3/4
reta QS → y – 0 = -3/4 . (x + 1) → y = - 3/4 x - 3/4
b) Sim, pois as retas PQ e QS são
perpendiculares, mPQ = - 1/ mQS
c) Se o triângulo PQS é retângulo no ponto Q
então o segmento PS é igual ao diâmetro e o ponto Q pertence à circunferência.
Assim, pode-se escrever:
2R = dPS = √(2+5)2 + (4-3)2
= √50 = 5√2 → R = 5√2/2
C → PS/2 → ((2-5)/2 , (4+3)/2) = (-3/2 , 7/2)
Equação da circunferência → (x + 3/2)2
+ (y - 7/2)2 = 25/2
5. (Ufjf-pism 3
2017) O resto da divisão de um polinômio p(x) por
um polinômio q(x) é o polinômio r(x) = x5 – 7x4 – 8x3
+ 56x2 + 15x – 105.
Sabendo que 7 é
raiz de p(x) e de q(x) determine todas as raízes de r(x)
Resposta da questão
5:
Pelo teorema do resto: D = d . Q + R
Sendo h(x) o
quociente da divisão de p(x) por q(x), pode-se escrever:
p(x) = q(x) . h(x)
+ r(x)→p(7) = q(7) . h(7) + r(7) = 0→r(x) e divisível por (x-7)
Dividindo r(x)
por (x - 7) tem-se: f(x) = x4 - 8x2 + 15.
Fazendo x2
= y → y2 - 8y + 15 = 0 → y =
3 ou y = 5.
Portanto x = ± √3 ou
x = ±√5.
As raizes sao 7, ±
√3 , ±√5.
Nenhum comentário:
Postar um comentário