QUESTÕES VESTIBULAR UECE 2017 - COMENTADAS

1. (Uece 2017)  As medidas, em metro, dos comprimentos dos lados de um triângulo formam uma progressão aritmética cuja razão é igual a 1. Se a medida de um dos ângulos internos deste triângulo é 120⁰ então, seu perímetro é :

a) 5,5   

b) 6,5   

c) 7,5   

d) 8,5   

  

Resposta da questão 1: [C]

Sabemos que o maior lado de um triângulo é oposto ao seu maior ângulo. Podemos, então aplicar o teorema dos cossenos no triângulo considerado no enunciado:

                                         

(x + 1)² = x² + (x - 1)² – 2.x.(x - 1).cos120⁰

x² + 2x + 1 = x² + x² – 2x + 1 – 2.x.(x - 1).(-1/2)

x² + 2x + 1 = x² + x² – 2x + 1 + x² – x → 2x² – 5x = 0 → x' = 0(?) ou x'' = 5/2

Portanto, o perímetro P do triângulo será dado por P = x + x – 1 + x + 1 →

P = 3x = 3.5/2 = 7,5

  

2. (Uece 2017)  O quadro numérico apresentado a seguir é construído segundo uma lógica estrutural.

                                

Considerando a lógica estrutural do quadro acima, pode-se afirmar corretamente que a soma dos números que estão na linha de número 41 é

a) 4443   

b) 4241   

c) 4645   

d) 4847   

  

Resposta da questão 2:[B]

Os elementos da primeira coluna constituem uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 1e razão 2. Logo, o primeiro elemento da linha de número 41 é dado por 1 + 40.2 = 81.

Desde que cada elemento da primeira coluna figura n vezes em cada linha n, com 1 ≤ n ≤ 51 e n є N, podemos concluir que a resposta é dada por 

41.81 + (83 + 101).10/2 = 4241.  

  

3. (Uece 2017)  Se x e y são números reais tais que 5y + 2x = 10, então, o menor valor que x² + y² pode assumir é :

a) 70/13   

b) 97/17   

c) 100/29   

d) 85/31   

  

Resposta da questão 3:[C]

Desde que y = (10 – 2x)/5, temos x² + y² = x² + [(10 – 2x)/5]² =

x² + (100 – 40x + 4x²)/25 = (25x² + 100 – 40x + 4x²)/25 =

(29x² + 100 – 40x )/25 = 29x²/25 – 8x/5 + 4

Logo, sendo - ∆/4a = -[(-8/5)² – 4.(29/25).4]/4.(29/25) = 100/29

4. (Uece 2017)  A função real de variável real definida por f(x) = (2x + 3)/(4x + 1), para x ǂ - 1/4 é invertível. Sua inversa g pode ser expressa na forma g(x) = (ax + b)/(cx + d), onde a, b, c e d são números inteiros.

Nessas condições, a soma a + b + c + d é um número inteiro múltiplo de :

a) 6   

b) 5   

c) 4   

d) 3   

  

Resposta da questão 4: [C]

Se f(x) = (2x + 3)/(4x + 1), então y = (2x + 3)/(4x + 1) → y(4x + 1) = 2x + 3 →

4xy + y = 2x + 3 → 4xy – 2x = - y + 3 → x(4y – 2) = - y + 3 →

x = (-y + 3)/(4y - 2) ou x = (y - 3)/(-4y + 2)

Portanto, temos g(x) = (x - 3)/(-4x + 2) e, assim, desde que

1 – 3 – 4 + 2 = - 4, podemos afirmar que a soma a + b + c + d é um número

inteiro múltiplo de 4.  

5. (Uece 2017)  Se f é a função real de variável real definida por f(x) = log(4 – x²) + √(4x – x²), então, o maior domínio possível para f é :

a) {x ϵ R/ 0 ≤ x < 4}   

b) {x ϵ R/ 2 < x < 4}      

c) {x ϵ R/ - 2 <  x < 4}      

d) {x ϵ R/ 0 ≤ x < 2}      

  

Resposta da questão 5: [D]

O maior domínio possível para f corresponde ao conjunto de números

reais que satisfazem simultaneamente as desigualdades 4 – x² > 0 e x² –

4x ≤ 0. Desse modo, como 4 – x² > 0 → - 2 < x < 2 e x² – 4x ≤ 0 → 0 ≤ x ≤ 4,

podemos concluir que a resposta é {x є R / 0 ≤ x < 2}

6. (Uece 2017)  Seja f : R → R uma função tal que f(nx) = [f(x)]ⁿ para todo número inteiro n e todo número real x. Se f(1) = 3 então, o valor da soma f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7)  é :

a) 4568   

b) 2734   

c) 3117   

d) 3279   

  

Resposta da questão 6:[D]

Tomando x = 1 e sabendo que f(1) = 3, vem f(n.1) = [f(1)]ⁿ → f(n) = 3ⁿ.

Portanto, segue que o resultado é igual a f(1) + f(2) + ... + f(7) = 3¹ + 3² + ... 

+ 3⁷ = 3.(3⁷ - 1)/(3 - 1) = 3279

7. (Uece 2017)  O produto dos valores dos números reais λ para os quais a igualdade entre pontos do R², (2x + y, x - y) = (λx, λy) ocorre para algum (x, y) ǂ (0, 0) é igual a :

a) -2   

b) -3   

c) -4   

d) -5   

  

Resposta da questão 7:[B]

De acordo com a igualdade acima, podemos escrever que:

2x + y = λ.x  e  x - y = λ.y → (2 - λ)x + y = 0  e  x - (1 + λ)y = 0 →

Para que o sistema homogêneo admita outras soluções além da (0, 0)

devemos considerar que seu determinante dos coeficientes seja nula:

(2 - λ).(-1 - λ) – 1 = 0 → λ² – λ – 3 = 0.

Logo, o produto das raízes λ₁ e λ₂ será dado por: λ₁ . λ₂ = -3/1 = - 3

  

8. (Uece 2017)  Quantos são os números naturais pares formados com quatro dígitos que têm pelo menos dois dígitos iguais?

a) 2204   

b) 2468   

c) 2096   

d) 2296   

  

Resposta da questão 8:[A]

Existem 9.10.10.5 = 4500 números naturais pares de quatro algarismos distintos ou não. Portanto, como há 9.8.7 = 504 pares com algarismos distintos que terminam em zero, e 8.8.7.4 = 1792 pares com algarismos distintos que não terminam em zero, podemos concluir que a resposta é 4500 – 504 – 1792 = 2204.  

9. (Uece 2017)  Quantos números inteiros positivos pares, com três dígitos distintos, podemos formar com os algarismos 3, 4, 5, 6 e 7?

a) 24   

b) 28   

c) 32   

d) 36   

  

Resposta da questão 9: [A]

Para a última casa decimal, temos 2 possibilidades (4 ou 6), já que o número é par. Como o número é formado por algarismos distintos temos 4 possibilidades para a primeira casa decimal e 3 possibilidades para a segunda casa decimal. Portanto, o total de números inteiros positivos que podemos formar será dada por: 4.3.2 = 24.

  

10. (Uece 2017)  O coeficiente de x⁶ no desenvolvimento de

(2x + 1/x²)³. (x² + 1/2x)³ é :

a) 18   

b) 24   

c) 34   

d) 30    

  

Resposta da questão 10:[B]

Sendo

T_p+1 = C_3,p . (2x)^3-p.(1/x²)^p = C_3,p . 2^3-p. /x^{3 - 3p}  o  termo geral de (2x + 1/x²)³  ;

T_q+1 = C_3,q . (x²)^3-q.(1/2x)^q = C_3,q . 2^-q. /x^{6 – 3q}  o termo geral de (x² + 1/2x)³  e

T_p+1  . T_q+1 = C_3,p . C_3,q . 2^3-p-q . x^9-3p-3q

Logo, deve-se ter p + q = 1, o que implica em (p, q) = (0, 1) ou (p, q) = (1, 0)

Em consequência, a resposta é  C_3,0 . C_3,1 . 2² + C_3,1 . C_3,0 . 2²  = 24

11. (Uece 2017)  Um cubo cuja medida de cada aresta é 3 dm está inscrito em uma esfera de raio R. A medida de um diâmetro 2R da esfera é :

a) 2√3 dm   

b) 3√2 dm   

c) 3√3 dm   

d) 4√3 dm   

  

Resposta da questão 11:[C]

Sabendo que a medida do diâmetro da esfera é igual à medida da diagonal do cubo, temos 2R = 3√3 dm.

  

12. (Uece 2017)  Considerando-se um cubo cuja medida de cada aresta é igual a 1m pode-se afirmar corretamente que a medida do volume do poliedro convexo cujos vértices são os centros das faces desse cubo é :

a) 2/3 m³   

b) 2/7 m³   

c) 1/6 m³   

d) 4/7 m³   

    

Resposta da questão 12:[C]

                           

O poliedro considerado é um octaedro regular, seu volume será a soma dos volumes de duas pirâmides, representadas na figura acima.

V = 2.1/3.A_b.h = 2.1/3.1²/2 .1/2 = 1/6 m³.

  

13. (Uece 2017)  Em um plano, munido do sistema de coordenadas cartesianas usual, as equações 3x – 2y + 6 = 0 e 3x + 4y – 12 = 0 representam duas retas concorrentes. A medida da área da região limitada por essas retas e pelo eixo dos x é :

Dados: u.a. = unidade de área

a) 9u.a.   

b) 10u.a.   

c) 11u.a.   

d) 12u.a.   

  

Resposta da questão 13:[A]

A reta y = 3x/2 + 3 intersecta o eixo das abscissas no ponto (-2, 0) e o eixo das ordenadas no ponto (0,3). Já a reta y = -3x/4 + 3 intersecta o eixo das abscissas no ponto (4,0) e o eixo das ordenadas no ponto (0,3). Desse modo, a região cuja área queremos calcular corresponde ao triângulo de vértices (-2, 0), (0, 3) e (4, 0).

O resultado é dado por 1/2 . (4 - (-2)). 3 = 9 u.a.

  

14. (Uece 2017)  Em um plano, munido do referencial cartesiano usual, seja A o ponto de interseção das retas 3x + y + 4 = 0 e 2x – 5y + 14 = 0. Se os pontos B e C são respectivamente as interseções de cada uma destas retas com o eixo-x, então, a área do triângulo ABC, é igual  :

a) 13/3 u.a.   

b) 14/3u.a.   

c) 16/3u.a.   

d) 17/3u.a.   

  

Resposta da questão 14: [D]

Determinando os pontos de intersecção da reta de equação 3x + y + 4 = 0

com o eixo x. Fazendo y = 0 → x = -4/3, então B(- 4/3, 0).

Determinando os pontos de intersecção da reta de equação 2x – 5y + 14 =

0 com o eixo x. Fazendo y = 0, x = 7 → então C(- 7, 0)

Determinado agora a ordenado do ponto de intersecção entre as retas,

3x + y + 4 = 0 e 2x – 5y + 14 = 0. Resolvendo o sistema temos x = - 2 e         

y = 2 (altura do triângulo) e o ponto A(- 2, 2).

Temos então o triângulo ABC representado abaixo:

                         

Logo, a área A do triângulo será dada por: A = (-4/3 - (- 7)).2/2 = 17/3 u.a.

  

15. (Uece 2017)  Em um plano, munido do sistema de coordenadas cartesianas usual, as equações x² + y² - 10√3 x – 25 = 0 e x² + y² + 10√3 x – 25 = 0  representam circunferências. Cada uma dessas circunferências limitam uma área no plano. O comprimento da linha que contorna a união das áreas limitadas por cada uma destas circunferências é

Dados: u.c. unidade de comprimento

a) 200π/3 u.c.   

b) 80π/3 u.c.      

c) 50π/3 u.c.      

d) 100π/3 u.c.   

  

Resposta da questão 15: [D]

Completando os quadrados, vem :

x² + y² - 10√3 x – 25 = 0 → (x - 5√3)² + (y – 0)² = 10².

x² + y² + 10√3 x – 25 = 0 → (x + 5√3)² + (y – 0)² = 10².

Considere a figura, em que A e B são os pontos de interseção das duas

circunferências.

                       

Se O é a origem do sistema de eixos cartesianos, então ''cos OCA =

OC/AC''→ cos OCA = 5√3/10 → OCA = π/6 rad.

Portanto, segue que AB = 2.OCA.AC = 2.(π/6).10 = 10π/3 rad.

O resultado pedido corresponde ao dobro do comprimento do maior arco

AB, isto é, 2.(2π.10 - 10π/3) = 100π/3 u.c.

  

  

16. (Uece 2017)  Se L_n2 ≈ 0,6931, L_n3 ≈ 1,0986, pode-se afirma corretamente que L_n √12/3 é igual a :

Dados: L_nx =  logaritmo natural de x.

a) 0,4721   

b) 0,3687   

c) 0,1438   

d) 0,2813   

  

Resposta da questão 16: [C]

Tem-se que L_n √12/3 = L_n 2.3^1/2/3 = L_n 2.3^-1/2 = L_n 2 - 1/2 . L_n3 ≈

0,6931 - ½ . 1.0986 ≈ 0,1438.

17. (Uece 2017)  Considere a equação x² + px + q = 0, onde p e q são números reais. Se as raízes desta equação são dois números inteiros consecutivos, positivos e primos, então, o valor de (p + q)² é igual a :

a) 1   

b) 4   

c) 9   

d) 16   

  

Resposta da questão 17:[A]

Os únicos primos que são positivos e consecutivos são os números 2 e 3,

já que existe apenas o 2 como sendo par e primo.

Portanto, 2 e 3 são as raízes da equação x² + px + q = 0.

Utilizando a ideia de soma e produto das raízes, podemos considerar que:

-p/1 = 2 + 3 → p = - 5  e  q/1 = 6 → q = 6.

Logo (p + q)² = (-5 + 6)² = 1

18. (Uece 2017)  Se as raízes da equação x² - 5|x| - 6 = 0  são também raízes de x² – ax – b = 0, então, os valores dos números reais a e b são respectivamente :

a) -1 e 6.    

b) 5 e 6.    

c) 0 e 36.    

d) 5 e 36.   

  

Resposta da questão 18:[C]

Sabendo que |x|² = x², para todo x real, temos x² - 5|x| - 6 = 0 →

|x|² - 5|x| - 6 = 0 → (|x| - 6).(|x| + 1) = 0 → x = ± 6

Em consequência, das Relações de Girard, vem a = 0 e b = 36.  

19. (Uece 2017)  No plano, seja XYZW um quadrado e E um ponto exterior a esse quadrado tal que o triângulo YZE seja equilátero. Assim, é correto afirmar que a medida do ângulo XEW é :

a) 45⁰   

b) 40⁰   

c) 35⁰   

d) 30⁰   

  

Resposta da questão 19:[D]

Desde que WZ = ZE e WZE = WZY + YZE = 90⁰ + 60⁰ = 150⁰, temos

ZWE = ZEW = (180⁰ – 150⁰)/ = 15⁰.

Ademais, sendo congruentes por LAL os triângulos WZE e XYE, vem

YEX = ZEW = 15⁰ . Portanto, o resultado é igual a XEW = YEZ – 2. ZEW =

60⁰ – 2 . 15⁰ = 30⁰.

  

20. (Uece 2017)  Sejam UVW um triângulo isósceles com base VW, E e F dois pontos nos lados UV e UW, respectivamente, tais que as medidas dos segmentos de reta VW, WE, EF e FU são iguais.

Nessas condições, pode-se afirmar corretamente que a medida do ângulo VUW é :

a) menor do que 21⁰.   

b) maior do que 21⁰ e menor do que 25⁰.   

c) maior do que 25⁰ e menor do que 27⁰.   

d) maior do que 27⁰ e menor do que 32⁰.   

  

Resposta da questão 20 : [C]

Considere a figura:

                                      

Se EF = FU, então o triângulo EFU é isósceles de base EU. Daí, tomando

EUF ≡ UEF = Ө, pelo Teorema do Ângulo Externo, vem EFW = 2Ө. Como,

EF = EW então implica em EFW isósceles de base FW  e, assim, temos

EWF = 2Ө.

Tomando o triângulo EUW, pelo Teorema do Ângulo Externo, concluímos

facilmente que VEW = 3Ө. Portanto, sendo VW = EW e VU = WU, temos

UVW ≡ VWU = 3Ө.  

Finalmente, do triângulo UVW, encontramos Ө + 3Ө + 3Ө = 180⁰ →

7Ө = 180⁰ → Ө = 180⁰/7.

Em consequência, temos 25⁰ = (175/7)⁰ < VUW < (182/7)⁰ = 26⁰ < 27⁰

  

21. (Uece 2017)  Considere a circunferência com centro no ponto O e cuja medida do raio é 2 m. Se AB é um diâmetro desta circunferência e C é um ponto sobre a circunferência tal que a medida do ângulo COB é 60⁰ então, a medida da área da região interior à circunferência, limitada pela corda AC e pelo menor arco determinado por A e C, é :

a) 4π/6 - √3   

b) 4π/6 + √3      

c) 4π/3 - √3      

d) 4π/3 + √3      

  

Resposta da questão 21: [C]

De acordo com as informações do enunciado, a área pedida corresponde à região destacada na figura abaixo, ou seja, a área de um segmento circular de 120⁰.

A = (π.2².120⁰)/360⁰ - ½ . 2. 2. sen120⁰ = 4π/3 - √3.  

22. (Uece 2017)  No triângulo MPQ, seja PH a altura relativa ao vértice P. O ponto H, no lado MQ, divide-o em dois segmentos cujas medidas são respectivamente 3 cm e 2 cm. Se a medida da altura (segmento PH) é 6 cm então, a medida do ângulo interno do vértice P é igual a :

a) 45⁰   

b) 30⁰   

c) 60⁰   

d) 50⁰   

  

Resposta da questão 22: [A]

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo MHP, temos

MP² = MH² + HP² → MP² = 3² + 6² → MP = 3√5 cm

Aplicando Pitágoras no triângulo QHP, encontramos

QP² = QH² + HP² → QP² = 2² + 6² → QP = 2√10 cm

Portanto, observando que MP > MQ, vem :

1/2 . MP. QP. sen MPQ = 1/2 . MQ. PH → 3√5. 2√10. sen MPQ = 5.6 →

sen MPQ = √2/2  → MPQ = 45⁰

23. (Uece 2017)  Se i é o número complexo cujo quadrado é igual a -1, e n é um número natural maior do que 2, então, pode-se afirmar corretamente que (√2 + √2 i)ⁿ é um número real sempre que :

a) n for ímpar.   

b) n for um múltiplo de 4.   

c) n for um múltiplo de 3.    

d) n for um múltiplo de 5.    

  

Resposta da questão 23: [B]

Sendo |z| e Ө,  respectivamente, o módulo e o argumento principal de

z = √2 + √2i, temos |z| = √[(√2)² + (√2)²] = 2  e  tg Ө = √2/√2 → tg Ө = 1

Ө = 45⁰ = π/4 rad.

Assim, vem z = 2(cosπ/4 + i.senπ/4) e, portanto, pela Primeira Fórmula de

Moivre, encontramos zⁿ = (√2 + √2i)ⁿ = 2ⁿ(cos(nπ/4) + i.sen(nπ/4))  

Desse modo, (√2 + √2i)ⁿ é um número real sempre que sen(nπ/4) = 0, ou

seja, sempre que n = 4.(2k) ou n = 4.(2k + 1)  com k ɛ Z. Em outras

palavras, zⁿ é um número real sempre que n for um múltiplo de 4.    

24. (Uece 2017)  Se i é o número complexo cujo quadrado é igual a -1, então, o valor de 5.i²²⁷ + i⁶ – i¹³ é igual a :

a) i + 1   

b) 4i - 1   

c) -6i - 1   

d) -6i   

  

Resposta da questão 24: [C]

Sabemos que: 227 = 56.4 + 3  ;  6 = 1.4 + 2  e  13 = 3.4 + 1

Portanto, 5 . i²²⁷ + i⁶ – i¹³ = 5. I³ + i² – i = - 5i – 1 – i = - 6i – 1.

  

25. (Uece 2017)  O termo independente de x no desenvolvimento da expressão algébrica (x² - 1)³.(x² + x + 2)² é :

a) 4   

b) -4   

c) 8   

d) -8   

  

Resposta da questão 25: [B]

Para determinar o termo independente de um polinômio, devemos admitir

x = 0. Portanto, o termo independente de (x² - 1)³.(x² + x + 2)²  será dado

por: (0² - 1)³.(0² + 0 + 2)² = -1 . 4 = - 4

  

26. (Uece 2017)  O resto da divisão de (2⁶⁴ + 1) por (2³² + 1) é igual a :

a) 1   

b) 0   

c) 4   

d) 2   

  

Resposta da questão 26: [D]

Considerando que 2³² = x  podemos escrever a divisão acima através de

uma divisão de polinômios: (x² + 1) por (x + 1).

O resto R da divisão de (x² + 1)  por (x + 1) é o valor numérico de (x² + 1)  

para x = - 1 (Teorema do Resto), ou seja: R = (-1)² + 1 = 2.

27. (Uece 2017)  Se os números de divisores positivos de 6 de 9 e de 16 são as raízes da equação x³ + ax² + bx + c = 0, onde os coeficientes a, b e c são números reais, então, o valor do coeficiente b é :

a) 41   

b) 45   

c) 43   

d) 47   

  

Resposta da questão 27:[D]

É imediato que 6 possui 4 divisores positivos, 9 possui 3 divisores

positivos e 16 possui 5 divisores positivos. Logo, teremos

(x - 4)(x - 3)(x - 5) = x³ – 12x + 47x – 60 = x³ + ax² + bx + c.       

Comparando os coeficientes dos termos de mesmo grau, vem b = 47.   

28. (Uece 2017)  Sejam P(x) = x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1 um polinômio e M o conjunto dos números reais k tais que P(k) = 0. O número de elementos de M é :

a) 1   

b) 2   

c) 4   

d) 5   

  

Resposta da questão 28:[A]

É fácil ver, por inspeção, que x = -1 é raiz de P. Logo, temos

P(x) = (x + 1)(x⁴ + x² + 1). Daí, como x⁴ + x² + 1 = 0 não possui raízes reais,

podemos concluir que a única raiz real de P é x = - 1.

Portanto, sendo M o conjunto das raízes reais de P, seu número de

elementos é 1.

29. (Uece 2017)  Uma matriz quadrada X = a_ij é simétrica quando a_ij = a_ji . Se o determinante da matriz simétrica M é igual a 8, então, o valor da soma x + y + z + w pode ser :

                                    1     2     3

                        M  =     x     1     y

                                     z     w    1

a) 9 ou 11   

b) 9 ou 25   

c) 11 ou 25   

d) 9 ou 13   

  

Resposta da questão 29: [B]

Se M é simétrica, então x = 2, z = 3 e w = y.

Como o determinante de M é igual a 8, temos 1 + 6y + 6y – 9 – y² – 4 = 8

y² – 12y + 20 = 0 → y = 2 ou y = 10.

Portanto a soma x + y + z + w pode ser 5 + 4 = 9 ou 5 + 20 = 25.  

30. (Uece 2017)  Se  u, v e w são números reais tais que u + v + w = 17, u.v.w = 135 e u.v + u.w + v.w = 87, então, o valor da soma u/vw + v/uw + w/uv é  :

a) 23/27   

b) 17/135   

c) 27/87   

d) 16/27  

Resposta da questão 30:[A]

Sabendo que (u + v + w)² = u² + v² + w² + 2.(u.v + u.w + v.w) →

(u + v + w)² -  2.(u.v + u.w + v.w) = u² + v² + w² →

u² + v² + w² = 17² – 2.87 = 115

Portanto u/vw + v/uw + w/uv = (u² + v² + w²)/u.v.w = 115/135 = 23/27