QUESTÕES COMENTADAS – VESTIBULAR 2016 – FAC. DE MEDICINA PEQUENO PRÍNCIPE

1. Considere a equação racional 5/x – 4/(x-2) = -6 e as seguintes afirmações:

I. As soluções algébricas são x = -2/3 e x = 5/2

II. As funções y₁ = 5/x – 4/(x-2) e y₂  = -6 têm ponto de interseção quando x = -2/3 e x = 5/2

III. As raízes são x = 0 e x = 2

IV. A função y₁ = 5/x – 4/(x-2) + 6  intercepta o eixo das abscissas quando x = -2/3 e x = 5/2

V. A equação não tem raízes reais.

A partir da análise das afirmações e do enunciado, é CORRETO afirmar que:

a) somente as afirmativas I, II e III estão corretas.   

b) somente as afirmativas I, II e IV estão corretas.   

c) somente as afirmativas I, II, III e IV estão corretas.   

d) somente a afirmativa III está correta.   

e) somente a afirmativa V está correta.   

  

2.  A sequência, x, y, x+y é uma progressão geométrica (PG) em que x e y ϵ R₊^* ( onde R é o conjunto dos números reais). Dessa forma, podemos afirmar que a razão dessa PG é:

a) (1+√5)/2   

b) √5/2   

c) 1 + √5   

d) √5   

e) 1/2   

  

3.  Uma rede pode ser representada por um conjunto de elementos denominados vértices interligados por retas, conhecidas como arestas. Tais sistemas de redes são utilizados para modelar diversas situações, como tráfego de veículos, sinal de telefone e modelos em engenharia elétrica. Conseguinte, considere o fluxo dado pela figura abaixo.

                                           E₃ →→ 170

                                    x₁                             x₄

                 

290→→ E₁                                                                     E₄→→ 180

                                     x₃

                        x₂                           x₅

                            60 →→ E₂

Note:  E₁ para E₃ = x_{1  ;}  E₁ para E₂  = x_{2  ;}  E₂ para E₃ = x_{3 ;}

 E₃ para E₄ = x₄  e E₂ para E₄ = x₅

Dado que o fluxo total de veículos de entrada (por hora) é igual ao fluxo total de saída (por exemplo, para o vértice E_1, 290 = x₁ + x_{2 ),} é CORRETO afirmar que o modelo matemático do fluxo acima tem:

a) Não tem solução.   

b) Tem solução única.   

c) Admite apenas duas soluções.   

d) Admite apenas três soluções.   

e) Infinitas soluções.   

4. Um engenheiro está projetando uma caixa d'água de concreto em forma de tronco de pirâmide regular e reta, com as seguintes medidas internas: base menor de lado 6m, base maior de 16m de lado e com altura da face lateral de 13m. A capacidade de armazenamento da caixa d’água é de:

a) 1432000 litros   

b) 1552 litros   

c) 1552000 litros                    QUESTÃO ANULADA

d) 1681,33 litros   

e) 1681333litros   

  

5.  Uma arruela, que é um disco fino com furo circular interno, tem suas dimensões projetadas sobre um sistema de coordenadas cartesianas. A equação da circunferência externa é obtida e tem a forma x² + y² -8x – 8y + 7 = 0. A distância da circunferência interna para a externa é de 2,5m. O furo interno, que está no meio da arruela, tem área igual a:

a) 5╥/9 cm²   

b) 9╥/4 cm²      

c) 25╥/4 cm²      

d) 27╥/4 cm²      

e) 36╥/25 cm²   

  

  

6.  Um líquido evapora à razão de 4% do seu volume a cada hora. O tempo necessário para que o volume desse líquido seja 1/4 do volume inicial é:

(Dados: log2 = 0,3 e log3 = 0,48)

a) 18 horas.   

b) 21 horas.   

c) 25 horas.   

d) 28 horas.   

e) 30 horas.   

  

7. A figura a seguir descreve o movimento executado por uma máquina para o corte de uma placa metálica:

                                           \  60⁰  ∕

                                            \     ∕

                                             ●C                

                                            ∕

                                          ∕

                                        ∕

                                      ∕

                                    ∕  60⁰        

A●--------------------●B----

Partindo de A, ela sistematicamente avança 6 cm e gira 60⁰ para esquerda, até retornar ao ponto A. A área da superfície recortada é:

a) 18√3 cm²   

b) 36√3 cm²   

c) 54√3 cm²   

d) 64√3 cm²   

e) 120√3 cm²   

  

8. Assinale a alternativa que contém valor exato de logA, sabendo-se que:

A = (2sen20⁰.sen70⁰) / (3cos50⁰ + sen40⁰) e log2 =0,3.

a) 1   

b) -0,6   

c) -0,8   

d) 0,6   

e) 0,3   

 

                              Gabarito Comentado

Resposta da questão 1:
 [B]

Resolvendo a equação e admitindo que xǂ0  e xǂ2 temos:

5/x – 4/(x-2) = -6 → [5.(x-2) – 4x] / x(x-2) = -6.x.(x-2) / x.(x-2) →5x-10-4x = -6x²+12x→

6x²-11x-10 = 0 → x= (11±√361)/12 → x₁ =5/2 ou x = -2/3

Portanto, somente as afirmativas [I], [II] e [IV] estão corretas.  

Resposta da questão 2:
 [A]

Através da definição da P.G, podemos escrever que:

Y² = x.(x+y) → y² = x² + xy → y² - x² - xy = 0

Resolvendo a equação na incógnita y, temos:

Y = (x±√5x²)/2.1 → y = x.(1±√5)/2

Como x e y são números positivos, concluímos que

Y = x(1+√5)/2 → y/x = (1 + √5)/2

Portanto, a razão q da P.G. será dada por: q = (1+√5)/2

  

Resposta da questão 3:
 [E]

Considerando as equações em cada um dos vértices, temos:

E₁ : - x₁ – x₂ + 290 = 0

E₂ : x₂ – x₃ – x₅ + 60 = 0

E₃ : x₁ + x₃ – x₄ – 170 = 0

E₄ : x₄ + x₅ - 180 = 0

Somando as 4 equações temos a indeterminação 0 = 0, portanto este modelo matemático tem infinitas soluções.  

Resposta da questão 4:

Questão anulada no gabarito oficial.

Esta questão foi anulada, pois no enunciado não foi discriminado o polígono das bases do tronco de pirâmide. Resolveremos a questão, considerando suas bases quadradas.

 Vamos considerar : base menor = 6 cm

                                   base maior = 10 cm

                                   altura do tronco = k

                                   altura da pirâmide = x + k

Através do teorema de Pitágoras podemos encontrar o valor de k:

K² + 5² = 13² → k² = 144 → k = 12 m

Considerando semelhança de Pirâmides, temos:

X / (x+12) = 3/8 → 8x = 3x + 36 → 5x = 36 → x = 7,2 m

O volume V do tronco é a diferença entre o volume da pirâmide maior e o volume da pirâmide menor:

V = 1/3 . 16² . (12+7,2) – 1/3 . 6² . 7,2 → V = 1552 m³ = 1552000 litros  

Resposta da questão 5:
 [C]

Determinando o raio de medida R da circunferência externa, temos:

x² + y² – 8x – 8y + 7 = 0 → x² – 8x + 16 + y² – 8y + 16 = -7 + 16 + 16 →

(x - 4)² + (y – 4)² = 25

Portanto, o raio da circunferência externa é R = √25 = 5

Logo, o raio da circunferência interna é 5 – 2,5 = 2,5 = 5/2

A área do furo interno será dada por:

A = ╥ . (5/2)² = 25╥/4 cm²  

Resposta da questão 6:
 [E]

Sendo V₀  o volume inicial do líquido e V o volume após um determinado tempo t, podemos escrever a seguinte função com as informações do problema : V = V₀. (0,96)^t

Admitindo que V = V₀ / 4 temos a seguinte equação na incógnita t.

V₀ / 4 = V₀. (0,96)^t → 1/4  = (0,96)^t → 2^-2 = (0,96)^t → log 2^-2 = log (0,96)^t

 -2log2 = t log0,96 → -2log2 = t. log(96/100) → -0,6 = t . ( log96 – log100 )

-0,6 = t . [ log(2⁵.3) – 2 ] → - 0,6 = t . ( 5log2 + log3 – 2 ) → -0,6 = t. (-0,02)

t = 30 horas

  

Resposta da questão 7:
 [C]

A trajeto descrito pela máquina formará um hexágono regular de lado 6cm.

                                           \  60⁰  ∕

                                            \     ∕

                                             ●C                

                                            ∕

                                          ∕

                                        ∕

                                      ∕

                                    ∕  60⁰        

A●---------------------●B----

Portanto, sua área A será dada por: A = 6 . (6².√3)/4 = 54√3 cm²

Resposta da questão 8:
 [B]

Considerando que sen 70⁰ = cos 20⁰ e que cos 50⁰ = sen 40⁰ Podemos escrever que:

A = (2.sen20⁰.sen70⁰) / ( 3.cos50⁰+ sen40⁰) = (2.sen20⁰.cos20⁰) / (3.sen40⁰+ cos40⁰) = sen40⁰/4sen40⁰ = 1/4

Portanto, log A = log 1/4 = log 2^-2 = -2log2 = -2.0,3 = -0,6