QUESTOES VESTIBULAR UEFS 2017.1 – COMENTADAS

1.    Em uma mesma semana, a cotação do dólar, em relação ao real, sofreu grande variação: na quarta-feira, o valor do dólar subiu 10% em relação ao de segunda-feira e, na sexta-feira, baixou 5% em relação ao de quarta-feira. Nessas condições, o aumento da cotação do dólar, na sexta-feira, em relação à segunda feira, correspondeu a :

 01) 3,2%

 02) 3,7%

 03) 4,0%

 04) 4,2%

 05) 4,5% 

           Vejamos :

          Segunda = x

          

          Quarta = x + 10% de x = x + 0,1x = 1,1x

          

          Sexta = 1,1x – 5% de 1,1x = 1,1x - 0,055x = 1,045x

         

          1,045x = x + 0.045x → então correspondeu a um aumento de 4,5% 

2.    Considere os dados fictícios do E-commerce de algumas cidades brasileiras e as respectivas populações:

          Após análise dos dados, pode-se concluir que uma cidade, que não é capital, apresenta, aproximadamente, uma receita :

          01) 6,5 vezes menor do que BH + FS

          02) 6,0 vezes menor do que SP.

          03) 5,5 vezes menor do que RJ.

          04) 4,0 vezes menor do que B + C.

          05) 3,5 vezes menor do que FS.

          Vejamos :

          Cidades que não são capitais → Feira de Santana (2,4 bilhões de reais) e 

          Campinas (1,1 bilhões de reais ).

            

          Portanto a alternativa correta é 02 → Campinas (1,1 bilhões de reais) é, 

          aproximadamente, 6,0 vezes menor do que SP (6,8 bilhões de reais).

3.    Considerando-se que o polinômio P(x) = x³ + ax² + bx + c tem 1 como raiz dupla e 3 como raiz simples, é correto afirmar que o resto da divisão de P(x) por (x + 1) é :

01) − 20

02) − 18

03) – 16

04)  −14 

05)  − 2 

           Vejamos :

           ... tem 1 como raiz dupla (x' = x'' = 1) e 3 como raiz simples (x''' = 3).

         

          Segundo as relações de Girard :

          x' + x'' + x''' = - 2⁰coef./1⁰coef. → 1 + 1 + 3 = - a/1 → a = - 5 

          x' . x'' . x''' = - 4⁰coef./1⁰coef. → 1 . 1 . 3 = - c/1 → c = - 3 

         

          Se 1 raíz então P(1) = 0 → P(1) = 1³ – 5.1² + b.1 – 3 = 0 → b = 7

           

          Como o resto da divisão de P(x) por (x + 1) é P(- 1), então

         

          P(-1) = (-1)³ – 5.(-1)² + 7.(-1) – 3 = -1 - 5 – 7 – 3 = - 16

4.    Uma herança de 80 milhões de reais deveria ser repartida pelo patriarca, entre os herdeiros da família, constituída por sua filha, que estava grávida, e a prole resultante dessa gravidez, de modo que, cada  criança nascida receberia o dobro do que caberia à mãe, se fosse do sexo masculino, e o triplo do que caberia à mãe, se fosse do sexo feminino. Nasceram trigêmeos, sendo dois meninos e uma menina. Nessas condições, pode-se afirmar que, pela divisão da herança, em milhões, entre mãe, cada menino e a menina, couberam, respectivamente,

01) 15, 15 e 35.

02) 15, 20 e 25.

03) 10, 20 e 30.

04) 5,  25 e 25.

05) 5,  30 e 15.

Vejamos :

80 milhões de reais deveria ser repartida entre os herdeiros da família, uma filha e 

3 netos (dois meninos e uma menina)

Mae = x, cada menino = 2x e a menina = 3x.

Portanto x + 2x + 2x + 3x = 80 → 8x = 80 → x = 10.

A Mae recebeu 10 milhões de reais, cada menino 20 milhões de reais e a menina  

30 milhões de reais.

5.    Se  (a_n) = (1, a₂, a₃,...) é uma progressão aritmética de razão 2 e (bn) = (2, b₂, b₃, − 54, ...) é uma progressão geométrica, então o valor de b₈/a₁₄ é :

01)   243

02) 162

03) − 81

04) −162

05) –243

Vejamos :

Se (1, a₂, a₃,...) é uma PA de razão 2, então a₃ = a₂ + 2.

Como a₂ = (1 + a₃)/2 → a₂ = (1 + a₂ + 2)/2 → 2a₂ = 1 + a₂ + 2 →

a₂ = 3 e a₃ = 5 → a₁₄ = a₁ + 13.r → a₁₄ = 1 + 13.2 → a₁₄ = 27

Se (2, b₂, b₃, − 54, ...) é uma PG, então b₄ = b₁ . q³ → - 54 = 2 . q³

q³ = - 54/2 → q³ = - 27 → q = - 3 → b₂ = 2 . (-3) = - 6 e b₃ = (-6).(-3) = 18

Portanto b₈ = b₁ . q⁷ → b₈ = 2 . (- 3)⁷ → b₈ = 2.(-2187) → b₈ = - 4374

Finalmente b₈/a₁₄ = - 4374/27 → b₈/a₁₄ = - 162

6.    Considerando-se a equação x² − 5x + 6 = | x − 3 |, tem-se que a soma de suas raízes é :

01) 0

02) 1

03) 2

04) 3

05) 4

Vejamos :

Como | x − 3 | = x – 3 se x ≥ 3 ou | x − 3 | = - x + 3 se x < 3

Resolvendo :  

x² − 5x + 6 = | x − 3 | → x² − 5x + 6 =  x – 3 se x ≥ 3

x² − 6x + 9 = 0 se x ≥ 3 → x = 3(V),

                             ou

x² − 5x + 6 = | x − 3 | → x² − 5x + 6 = - x + 3 se x < 3

x² − 4x + 3 = 0 se x < 3 → x = 1(V) ou x = 3(F)

Finalmente a soma das raízes será 3 + 1 = 4

7.    Considerando-se que, sob certas condições, o número de colônias de bactérias, t horas após ser preparada a cultura, pode ser dado pela função N(t) = 9^t − 2.3^t + 3, t ≥ 0, pode-se estimar que o tempo mínimo necessário para esse número ultrapassar 678 colônias é de :

01) 2 horas.

02) 3 horas.

03) 4 horas.

04) 5 horas.

05) 6 horas.

Vejamos :

Observando a condição N(t) = 9^t − 2.3^t + 3 > 678 → 9^t − 2.3^t – 675 > 0,

faremos 3^t = a → a² − 2.a – 675 > 0 → a = (2 ± √(-2)²-4.1.(-675))/2.1 →

a = (2 ± √2704)/2 → a = (2 ± 52)/2 → a = 27 ou a = - 25.

Portanto como 3^t = a → 3^t = 27 → t = 3 horas ou 3^t = - 25 (não convém)

8.    Se tg (x – y) + 2x = 5 – 2y e tg (y – x) + y = 7 – x, então o valor de x + y é :

01) 5

02) 6

03) 7

04) 8          QUESTAO  ANULADA

05) 9

Vejamos :

Sabendo que tg α = - tg (- α) , vem :

Se tg (x – y) + 2x = 5 – 2y → tg (x - y) = 5 – 2x – 2y  e

tg (y – x) + y = 7 – x → tg (y – x) = 7 – x – y → tg (x - y) = x + y – 7.

Igualando as equações 5 – 2x – 2y  =  x + y – 7 →

 - 3x – 3y = - 12 (: - 3) → x + y = 4

9.    Conhecidos os percentuais de aprovação, por parte da população, de 10 projetos viáveis para desenvolvimento sustentável em dez cidades de certa região, como 15%, 12%, 15%, 8%, 86%, 13%, 13%, 83%, 11% e 13%, quanto aos valores percentuais da mediana(Me) e da moda(Mo), é correto afirmar que :

01) Me < Mo.

02) Me  ≤ Mo.

03) elas são equivalentes.

04) Me > Mo.

05) Me  ≥ Mo.

Vejamos :

Observando o valores 15%, 12%, 15%, 8%, 86%, 13%, 13%, 83%, 11% e 13% e 

colocando-os em ordem crescente, vem :

8%, 11%, 12%, 13%, 13%, 13%, 15%, 15%, 83%, 86% → Moda = 13%

Mediana = (13% + 13%)/2 → Mediana = 13%

10. Uma estudante ainda tem dúvidas quanto aos quatro últimos dígitos do número do celular de seu novo colega, pois não anotou quando ele lhe informou, apesar de saber quais são não se lembra da ordem em que eles aparecem. Nessas condições, pode-se afirmar que o número de possibilidades para a ordem desses quatro dígitos é :

01) 240

02) 160

03) 96

04) 24

05) 16

Vejamos :

O número de possibilidades para a ordem desses quatro dígitos poderá ser obtido através das permutações dos 4 elementos →

 P_n = n! → P₄ = 4! = 24

11. Se  M = ( aij ), i =1, 2,  e  j = 1,2,  é a matriz tal que a₁₁ = 1, a₁₂ = 2, a₂₁ = 3 e a₂₂ = 4 , então o elemento da matriz oposta ou simétrica da adjunta de M, associado ao a₂₁  é :

01) − 3

02) − 2

03) − 1

04) 2

05) 3

Vejamos :

 Matriz Adjunta de uma matriz quadrada é a transposta de sua  matriz dos cofatores.

Cálculo dos cofatores → C_ij = (- 1)^i+j.M_ij, onde M_ij é o menor complementar do elemento a_ij.

Portanto C₁₁ = (- 1)¹⁺¹. 4 = 4; C₁₂ = (- 1)¹⁺². 3 = -3; C₂₁ = (- 1)²⁺¹. 2 = - 2

C₂₂ = (- 1)²⁺². 1 = 1.

Como a matriz Adjunta é igual a transposta da matriz dos cofatores,

                                              

                                 4     - 2                                                      - 4     2

Matriz Adjunta =                     Matriz Oposta da Adjunta =

                                - 3      1                                                         3     -1

Finalmente o seu elemento a₂₁ = 3

12. Os capitais T₁ e T₂ colocados a 75% a.a., em 8 meses, e a 5% a.m., em 6 meses, respectivamente, rendem juros iguais. Sabendo-se que a diferença entre eles é de R$1600,00, é correto afirmar que o menor dos capitais é de :

01) R$1200,00.

02) R$1600,00.

03) R$2400,00.

04) R$3200,00.

05) R$4000,00.

Vejamos :

Capital T₁ → 75% aa → 8 meses = 2/3 ano → J₁ = T₁. 75. 2/3

Capital T₂ → 5% am → 6 meses  → J₂ = T₂. 5. 6

Como J₁ = J₂, vem 50T₁ = 30T₂ → 5T₁ = 3T₂ → T₁ = 3/5 .T₂

Sabendo que T₂ – T₁ = 1600 → T₂ – 3/5 .T₂ = 1600 → 5T₂ - 3T₂ = 8000

2T₂ = 8000 → T₂ = R$ 4000,00 e T₁ = R$ 2400,00

13. Se um cone circular reto tem altura igual a 4 cm e base circunscrita a um hexágono regular de lado medindo 2 cm, então a sua área lateral, em cm², mede, aproximadamente,

01) 4π√6

02) 4π√5

03) 4π

04) π√3

05) π√2

Vejamos :

Como o lado no hexágono inscrito é igual ao raio de sua  circunferência circunscrita então r = 2 cm.

 A área lateral de um cone circular reto é A_L = πrg, onde g é a geratriz.

Como a geratriz é a hipotenusa de um triangulo retângulo onde os catetos são o raio da base do cone e sua altura, vem: g² = r² + h²

g² = 2² + 4² → g² = 20 → g = √20 → g = 2√5 cm.

Finalmente A_L = πrg → A_L = π.2.2√5 → A_L = 4π√5 cm²

14. Considere uma lajota hexagonal regular inscrita em um cubo, de modo que os seus vértices sejam pontos médios das arestas desse cubo, cujo volume é de 512 u.v. Sabendo-se que o perímetro da lajota é m√2 u.c., pode-se concluir que o valor de m é :

01) 12

02) 24

03) 36

04) 42

05) 48

Vejamos :

Volume de um cubo de aresta ''a'' → V = a³ → a³ = 512 → a = 8 u.c.

Lado do hexágono → l² = (a/2)² + (a/2)² → l² = (8/2)² + (8/2)²→

l² = (4)² + (4)² → l² = 16 + 16 → l² = 32 → l = √32 → l = 4√2 u.c.

Portanto o perímetro será P = 6l → P = 6.4√2 → P = 24√2 → m = 24

15. Em um sistema de coordenadas cartesianas, utilizando-se uma escala conveniente, o planejamento de localização de três peças de arte no Museu Casa do Sertão: R, o Busto de um Vaqueiro, S, um Animal empalhado e T, a Estátua de uma Mulher Rendeira, representadas pelos pontos de intersecção das retas de equações r: y = 6x + 4, s: y = 4 e  t: 2y – 3x + 1 = 0. Nessas condições, é correto afirmar que os pontos que representam R, S e T estão contidos no menor círculo de centro na Origem e que pode ser definido pelo conjunto :

01) { (x, y) ∈ R²; x² + y² ≤ 25}

02) { (x, y) ∈ R²; x² + y²  = 25}

03) { (x, y) ∈ R²; x² + y²  ≤ 16}

04) { (x, y) ∈ R²; x² + y²  = 16}

05) { (x, y) ∈ R²; x² + y²  ≥ 9}

         Vejamos :

          R = r ∩ s → y = 6x + 4 e y = 4 → 6x + 4 = 4 → 6x = 0 → x = 0 → R(0,4)

          

          S = r ∩ t → y = 6x + 4 e 2y – 3x + 1 = 0 → 2(6x + 4) – 3x + 1 = 0 →

          12x + 8 – 3x + 1 = 0 → 9x = - 9 → x = - 1 → y = - 2 → S(- 1,- 2)

           

          T = t ∩ s → 2y – 3x + 1 = 0  e y = 4 → 8 – 3x + 1 = 0 → - 3x = - 9 →

           x = 3 → T(3,4).

  

          Portanto a alternativa correta é { (x, y) ∈ R²; x² + y² ≤ 25}