QUESTÕES VESTIBULAR UFAM - PSC 2017 - COMENTADAS

1. No final do ano passado, uma empresa do Distrito Indústria de Manaus ofereceu um prêmio de R$ 8.000,00 aos seus três melhores vendedores, Ana, Beatriz e Carlos. A divisão do prêmio foi em partes diretamente proporcionais à quantidade de vendas de produtos durante o ano e em partes inversamente proporcionais ao número de faltas deles ao trabalho, também durante o ano. Sabendo que Ana realizou 7 vendas e faltou 4 vezes, Beatriz realizou 8 vendas e faltou 3 vezes e Carlos realizou 9 vendas e faltou 4 vezes, então Beatriz recebeu:

a) R$ 2.100,00

b) R$ 2.700,00

c) R$ 3.100,00

d) R$ 3.200,00

e) R$ 3.300,00

Vejamos :

Sabendo que Ana(A) realizou 7 vendas e faltou 4 vezes,

Beatriz(B) realizou 8 vendas e faltou 3 vezes e

Carlos(C) realizou 9 vendas e faltou 4 vezes.

Como a divisão do prêmio foi em partes diretamente

proporcionais à quantidade de vendas de produtos e em partes

inversamente proporcionais ao número de faltas.

A/(7.1/4) = B/(8.1/3) = C/(9.1/4) = (A + B + C)/(7.1/4 + 8.1/3 + 9.1/4) =

= 8000/(7/4 + 8/3 + 9/4) = 8000/(4 + 8/3) = 8000/(20/3) = 1200(const.

de proporcionalidade).

Portanto Beatriz recebeu : B/(8.1/3) = 1200 → B = 1200.8/3 →

B = R$ 3200,00

2. Sabendo que os pontos (2, -1) e (-3, -6) pertencem ao gráfico

da função f :  R em R definida por f(x) = ax + b então a - b é:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

Vejamos :

Como (2, -1) e (-3, -6) pertencem ao gráfico de f(x) = ax + b, entao

com (2, -1), teremos - 1 = a.2 + b e com (-3, -6), - 6 = a.(-3) + b

Resolvendo o sistema, b = - 1 – 2a e b = - 6 + 3a, obtemos

- 1 – 2a = - 6 + 3a → 5a = 5 → a = 1 e b = - 3.

Portanto a – b = 1 + 3 → a – b = 4

3. A função f :  R em R tem como gráfico uma parábola e satisfaz

f(x + 1) - f(x) = 8x – 4, para todo número real R. Então o menor

valor de f(x) ocorre quando o valor de x é igual a:

a) 2

b) 1

c) 1/2

d) 1/4

e) – 1

Vejamos :

Como o gráfico de f : R em R é uma parábola, então f(x) é do tipo

f(x) = ax² + bx + c.

Se f(x + 1) - f(x) = 8x – 4 → a(x + 1)² + b(x + 1) + c - f(x) = 8x – 4 →

a(x² + 2x + 1)² + b(x + 1) + c - ax² - bx – c = 8x – 4 →

ax² + 2ax + a + bx + b + c - ax² - bx – c = 8x – 4 →

2ax + a + b = 8x – 4 .

Por comparação 2ax = 8x → a = 4 e a + b = - 4 → b = - 8

Então o menor valor de f(x) que ocorre quando o valor de x é

igual ao x_vértice = -b/2a = -(-8)/2.4 = 8/8 = 1

4. O valor (em reais) de um veículo varia, após x anos,

segundo a lei definida por d(x) = V₀ . 2^-0,2x , onde V₀

é uma constante real. Sabendo que após 5 anos esse

veículo estará valendo R$ 30.000,00, então o valor

desse veículo após 15 anos deve ser:

a) R$ 4.000,00

b) R$ 5.000,00

c) R$ 6.000,00

d) R$ 7.500,00

e) R$ 10.000,00

Vejamos :

O valor (em reais) de um veículo varia, após x anos,

segundo a lei definida por d(x) = V₀ . 2^-0,2x . Se após 5 anos estará

valendo R$ 30000,00, então 30000 = V₀ . 2^-0,2.5 → 30000 = V₀ . 1/2

V₀ = R$ 60000,00.

O valor desse veículo após 15 anos deve ser d(x) = 60000 . 2^-0,2.15

d(x) = 60000 . 2^-3 → d(x) = 60000/8 → d(x) = R$ 7500,00

5. Resolvendo em R a inequação log₂₅ (x² - x) > log₂₅ (2x + 10)

deve-se obter como solução S :

a) S = {x ɛ R / - 5 < x < - 2 ou x > 5}

b) S = {x ɛ R / - 5 < x < 0 ou x > 1}

c) S = {x ɛ R / x < - 2 ou x > 5}

d) S = {x ɛ R / - 5 < x < - 5}

e) S = ɸ

Vejamos :

Como a base > 1, entao  log₂₅ (x² - x) > log₂₅ (2x + 10) →

x² - x > 2x + 10 → x² - 3x – 10 > 0 → ∆ = 49 → x < - 2 ou x > 5

Analisando as condições de existências dos logaritmos :

● log₂₅ (x² - x) → x² - x > 0 → x < 0 ou x > 1

● log₂₅ (2x + 10) → 2x + 10 > 0 → x > - 5

            

Portanto S = {x ɛ R / - 5 < x < - 2 ou x > 5}

6. A soma de todos os múltiplos positivos de 4 com dois

algarismos, na base decimal, é:

a) 1248

b) 1188

c) 1148

d) 1124

e) 1024

Vejamos :

Como os múltiplos de 4 delimitam uma PA e com dois algarismos

oscilam entre 12 e 96, então segundo o termo geral da PA

a_n = a₁ + (n - 1).r → 96 = 12 + (n - 1).4 → 84 = 4n – 4 → 4n = 88 →

n = 22.

Finalmente, a soma dos 22 múltiplos de 4 poderá ser obtido

através da expressão S_n = (a₁ + a_n).n/2 → S₂₂ = (a₁ + a₂₂).22/2 →

S₂₂ = (12 + 96).11 → S₂₂ = 108.11 → S₂₂ = 1188

7. Considere as progressões geométricas infinitas (1/2,1/4, 1/8, 1/16, ...) e (1/3, 1/9, 1/27, 1/81,...). Se a e b são as respectivas somas destas progressões, então o valor de a+b é:

a) 2/3

b) 3/2

c) 4/3

d) 5/3

e) 7/3

Vejamos :

Como as PG(s) são infinitas, podemos determinar suas somas

através da expressão S_∞ = a₁/(1 - q).

● (1/2,1/4, 1/8, 1/16, ...) → S_∞ = (1/2)/(1 - 1/2) = 1

● (1/3, 1/9, 1/27, 1/81,...) → S_∞ = (1/3)/(1 - 1/3) = 1/2 → b = 1/2

Portanto: a = 1;  b = 1/2 e a + b = 3/2

8. Em um triangulo retângulo, a metade de um cateto

excede o outro em 1cm e a hipotenusa excede o

maior cateto em 1cm também. Sabendo que o

perímetro desse triângulo é 30, então a medida da

tangente do maior ângulo agudo deve ser:

a) 0,5

b) 1

c) 2,4

d) 3,0

e) 4,0

Vejamos :

Observando o triângulo retângulo podemos afirmar que,

                 

                               

● A metade de um cateto excede o outro em 1 cm → c/2 = b + 1

● A hipotenusa excede o maior cateto em 1cm → a = c + 1

Através do Teorema de Pitágoras → a² = b² + c² →

(c + 1)² = (c/2 - 1)² + c² → c² + 2c + 1 = c²/4 – c + 1 + c²

2c + 1 = c²/4 – c + 1 → 8c + 4 = c² – 4c + 4 → c² – 12c = 0 →

c = 0 (não convém) ou c = 12 → a = 13 e b = 5

Portanto a medida da tangente do maior ângulo agudo (convém

lembrar que o maior ângulo agudo opõe-se ao maior cateto)

mede tg α = c/b → tg α = 12/5 = 2,4