1.
(Fuvest 2018) Dentre os candidatos que fizeram provas de
matemática, português e inglês num concurso, 20 obtiveram nota mínima para
aprovação nas três disciplinas. Além disso, sabe-se que:
I.
14 não obtiveram nota mínima em matemática;
II.
16 não obtiveram nota mínima em português;
III.
12 não obtiveram nota mínima em inglês;
IV.
5 não obtiveram nota mínima em matemática e em português;
V.
3 não obtiveram nota mínima em matemática e em inglês;
VI.
7 não obtiveram nota mínima em português e em inglês e
VII.
2 não obtiveram nota mínima em português, matemática e inglês.
A quantidade de candidatos que participaram do
concurso foi :
a) 44
b) 46
c) 47
d) 48
e) 49
Resposta
da questão 1:[E]
Sejam M,
P e I, respectivamente, o conjunto dos alunos que não
obtiveram nota mínima em matemática, o conjunto dos alunos que não obtiveram
nota mínima em português e o conjunto dos alunos que não obtiveram nota mínima
em inglês.
Logo, pelo Princípio da Inclusão-Exclusão,
temos
n(MUPUl) = 14 + 16 + 12 - 5 – 3 – 7 + 2 =
29.
Por conseguinte, sabendo que 20 alunos foram
aprovados nas três disciplinas, segue que a resposta é 29 + 20 = 49.
2.
(Fuvest 2018) Sejam f : R → R e g ; R+ → R definidas
por
f(x)
= 5x/2 e g(x) = log x, respectivamente.
O gráfico da função composta gof é:
Resposta
da questão 2:[A]
Tem-se que gof x = log(5x/2) =
log5x - log2 = xlog5 - log2.
Portanto, sendo log 5 > 0 e log 2>> 0
podemos concluir que o gráfico de gof é uma reta crescente que intersecta o
eixo y
num ponto de ordenada negativa.
3.
(Fuvest 2018) Sejam Df e Dg os maiores
subconjuntos de R nos quais estão definidas, respectivamente, as funções reais
Considere,
ainda, If e Ig as imagens de f e de g, respectivamente.
Nessas
condições,
a) Df
= Dg e If = Ig
b) tanto
Df e Dg quanto If e Ig diferem em
apenas um ponto.
c) Df
e Dg diferem em apenas um ponto, If e Ig diferem
em mais de um ponto.
d) Df
e Dg diferem em mais de um ponto, If e Ig diferem
em apenas um ponto.
e) tanto
Df e Dg quanto If e Ig diferem em
mais de um ponto.
Resposta
da questão 3: [E]
Tem-se, para todo x ε R e x ǂ 2, que f(x)
= √(x + 2)2(x - 2)/(x - 2) →
f(x) = |x + 2| → Df = R - {2} e Imf
= R+
Por outro lado, sendo x > 2,
encontramos g(x) = √(x + 2)2 . √(x - 2)/(x - 2) →
g(x) = |x + 2| → Dg = ] 2, ∞[
e Img = ] 4, ∞[
Em consequência, podemos afirmar que
tanto Df e Dg
quanto Imf e Img
diferem em mais de um ponto.
4.
(Fuvest 2018) Doze pontos são assinalados sobre quatro segmentos
de reta de forma que três pontos sobre três segmentos distintos nunca são
colineares, como na figura.
O
número de triângulos distintos que podem ser desenhados com os vértices nos
pontos assinalados é :
a) 200
b) 204
c) 208
d) 212
e) 220
Resposta
da questão 4:[D]
Há C12,3 = 12!/3!9!= 220
maneiras de escolher três pontos quaisquer. Dentre essas possibilidades,
devemos descontar aquelas em que não se pode formar um triângulo. Temos dois
segmentos de reta que apresentam quatro pontos cada um, resultando, portanto,
em 2.C4,3 = 2.4 = 8 possibilidades.
A resposta é 220 – 8 = 212.
5.
(Fuvest 2018) Em uma urna, há bolas amarelas, brancas e
vermelhas. Sabe-se que:
I.
A probabilidade de retirar uma bola vermelha dessa urna é o dobro da
probabilidade de retirar uma bola amarela.
II.
Se forem retiradas 4 bolas amarelas dessa urna, a probabilidade de retirar uma
bola vermelha passa a ser 1/2.
III.
Se forem retiradas 12 bolas vermelhas dessa urna, a probabilidade de retirar
uma bola branca passa a ser 1/2.
A quantidade de bolas brancas na urna
é :
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16
Resposta da questão 5: [C]
Sejam a,
b e v, respectivamente, o número de bolas amarelas, o
número
de bolas brancas e o número de bolas
vermelhas na urna. Logo, de (I),
concluímos que v = 2a
Além disso, de (II), temos v/(a – 4 + b +
v) = 1/2 → a = b - 4
Portanto, de (III), vem b/(a + b + v -
12) = 1/2 → b = 12
A quantidade de bolas brancas na urna é 12.
6.
(Fuvest 2018) Prolongando-se os lados de um octógono convexo ABCDEFGH,
obtém-se um polígono estrelado, conforme a figura.
A
soma α1 + α2 + ... + α8 vale :
a) 1800
b) 3600
c) 5400
d) 7200
e) 9000
Resposta
da questão 6:[B]
Considere o quadrilátero IJKL da figura.
Dos triângulos P1P6 K,
P2P5 K, P3P8 K, e P4P7
K, tem-se, respectivamente,
que P1 KP6 = 1800 - (α1 + α6);
P2 IP5 = 1800 - (α2 + α5);
P3 LP8 = 1800 - (α3 + α8)
e P4 JP7 = 1800
- (α4 + α7).
Em consequência, desde que a soma dos
ângulos internos do
quadrilátero IJKL é igual a 3600,
vem :
1800 - (α1 + α6)
+ 1800 - (α2 + α5) + 1800 - (α3
+ α8) + 1800 - (α4 + α7) = 3600
∑8n-1 αn
= 3600.
7.
(Fuvest 2018) O quadrilátero da figura está inscrito em uma
circunferência de raio 1. A diagonal desenhada é um diâmetro dessa
circunferência.
Sendo
x e y as medidas dos ângulos indicados na figura, a área da região cinza, em
função de x e y, é:
a) π + sen 2x + sen 2y
b) π - sen 2x - sen 2y
c) π - cos 2x - cos 2y
d) π - (cos 2x + cos 2y)/2
e) π - (sen 2x + sen 2y)/2
Resposta
da questão 7:[B]
A diagonal do quadrilátero o divide em
dois triângulos retângulos. Sendo 2sen x e 2cos x os catetos do primeiro e 2sen
y e 2cos y os catetos do segundo, podemos concluir que o resultado é :
π.12 - ½ . 2sen x . 2cos x - ½
. 2sen y . 2cos y = π - 2sen 2x - 2sen y
8.
(Fuvest 2018) Considere o polinômio P(x) = xn + an-1
xn-1 + ... + a1 x + a0 em que (a0, ... , an-1 )
ε N. Sabe-se que as suas n raízes estão sobre a circunferência unitária e que a0
< 0.
O
produto das n raízes de P(x), para qualquer inteiro n ≥ 1 é:
a) -
1
b) in
c) in
+ 1
d) (-1)n
e) (-1)n+1
Resposta
da questão 8:[E]
Sejam r1, r2, ...,
rn as raízes de P. Desde que tais raízes estão sobre a
circunferência unitária, temos |r1|
= |r2| = ... = |rn|
= 1 → | r1. r2. ... rn | = 1
Por outro lado, pelas Relações de Girard,
vem
r1. r2. ... rn
= (-1)n. a0/1 = (-1)n. a0, com a0
ε R-*
Logo, segue que r1. r2.
... rn = ± 1. Mas a0 < 0 e, portanto, só pode ser
a0 = -1. Portanto a resposta é (-1)n + 1
9.
(Fuvest 2018) Dois atletas correm com velocidades constantes em
uma pista retilínea, partindo simultaneamente de extremos opostos, A e B. Um
dos corredores parte de A, chega a B e volta para A. O outro corredor parte de B,
chega a A e volta para B. Os corredores cruzam-se duas vezes, a primeira vez a 800
metros de A e a segunda vez a 500 metros de B. O comprimento da pista, em
metros, é :
a) 1000
b) 1300
c) 1600
d) 1900
e) 2100
Resposta
da questão 9: [D]
Sejam v1 e v2,
respectivamente, a velocidade do corredor que partiu de A
e a velocidade do corredor que partiu de B. Logo, se l é o comprimento
da
piscina, em metros, então v1/v2
= 800/(l - 800)
Por outro lado, do segundo encontro,
temos v1/v2 = (l + 500)/(2l - 500)
Em consequência, vem (l + 500)/(2l - 500)
= 800/(l - 800) →
l2 – 300l – 400000 = 1600l –
400000 → l2 – 1900l = 0 → l = 1900 m
10.
(Fuvest 2018) Maria quer comprar uma TV que está sendo vendida
por R$ 1500,00 à vista ou em 3 parcelas mensais sem juros de R$ 500,00. O
dinheiro que Maria reservou para essa compra não é suficiente para pagar à
vista, mas descobriu que o banco oferece uma aplicação financeira que rende 1%
ao mês. Após fazer os cálculos, Maria concluiu que, se pagar a primeira parcela
e, no mesmo dia, aplicar a quantia restante, conseguirá pagar as duas parcelas
que faltam sem ter que colocar nem tirar um centavo sequer.
Quanto
Maria reservou para essa compra, em reais?
a) 1450,20
b) 1480,20
c) 1485,20
d) 1495,20
e) 1490,20
Resposta
da questão 10:[C]
Se C é a quantia que Maria reservou para a compra,
então
((C - 500).1,01 - 500).1,01 = 500 → (C -
500).1,012 = 1005 →
(C - 500) ≈ 985,20 → C ≈ R$ 1485,20
11.
(Fuvest 2018)
Admitindo
que a linha pontilhada represente o gráfico da função
f(x)
= senx e que a linha contínua represente o gráfico da função
g(x)
= αsenβx, segue que :
a) 0 < α < 1 e 0 < β < 1.
b) α > 1 e 0 < β < 1.
c) α = 1 e β > 1
d) 0 < α < 1 e β > 1
e) 0 < α < 1 e β = 1
Resposta
da questão 11: [A]
Vamos supor que α e β sejam reais
positivos.
Sabendo que Imf = [-1, 1] e Pf,
= 2π, dos gráficos, temos Img = [-α, α], com
0 < α < 1 e Pg = 4π.
Assim, vem 0 < β = ½ < 1.
Este comentário foi removido pelo autor.
ResponderExcluirMuito bom.
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