TREINAMENTO QUESTÕES ANALÍTICAS 2019 – ITA – IME – UNICAMP - FUVEST // COMENTADAS

1.Determine f^-1(x), função inversa de f : R - {3} → R - {1/3}, sabendo que  f(2x - 1) = x/(3x - 6) para todo x ɛ R - {2}.

                                Resposta da questão 1:

 Fazendo t = 2x – 1, segue que x = 2t – 1 → t^-1 = (x + 1)/2

Substituindo x por t^-1 na lei da função f, vem:

f[2.(x + 1)/2 - 1] = [(x+1)/2]/[3.(x+1)/2 - 6] ↔  f(x) = (x + 1)/(3x - 9)

Portanto, x = (y + 1)/(3y - 9) ↔ 3xy – 9x = y + 1 ↔ 3xy – y = 9x + 1 ↔

y(3x - 1) = 9x + 1 ↔ y^-1 = (9x + 1)/(3x - 1) ↔ f^-1(x) = (9x + 1)/(3x - 1)

  

2. Considere uma pirâmide hexagonal regular reta, cujos vértices da base são pontos de uma superfície esférica de raio 5 cm.

Sabendo que :       

● o vértice da pirâmide encontra-se a uma distância de 25/4 cm do centro da superfície esférica;

● as retas que contêm as arestas laterais dessa pirâmide são tangentes a essa superfície esférica nos vértices da base, calcule o volume da pirâmide.

                            Resposta da questão 2:
  

Considere a figura.

                         

Sejam V o vértice da pirâmide, A um vértice da base da pirâmide, O o

centro da esfera e P o centro do círculo circunscrito à base da pirâmide.

Como VA é tangente à esfera, segue que VAO é reto.

Sabendo que AO = 5 cm e OV = 25/4 cm, das relações métricas no

triângulo retângulo, vem: OA² = OV . OP ↔ 5² = 25/4 .OP ↔ OP = 4 cm.

     

Então, PV = OV – OP = 25/4 – 4 = 9/4 cm e PA = 3 cm, pois o triângulo

APO é retângulo pitagórico. Portanto, o volume da pirâmide é

V = 1/3 . (3.PA².√3)/2 . PV → V =  (3².√3)/2 . 9/4 → V = 81√3/8 cm³

  

3. Dados os pontos P(–1, 2) e Q(1, 2), determine o par de coordenadas cartesianas de cada ponto S da parábola y = 2x², de abscissa x ǂ ± 1, de modo que as retas SP e SQ sejam perpendiculares.

                              Resposta da questão 3:

Seja S = (k, 2k²), com k ɛ R - {± 1}.

Desse modo, o coeficiente angular da reta SP é (2k² - 2)/(k + 1)= 2.(k - 1),

enquanto o coeficiente angular da reta SQ é (2k² - 2)/(k - 1)= 2.(k + 1

Para que SP e SQ sejam perpendiculares, devemos ter:

2.(k - 1). 2. (k + 1) = - 1 ↔ k² – 1 = -1/4 ↔ k = ± √3/

Portanto, as coordenadas dos pontos que satisfazem a condição do

enunciado são (-√3/2, 3/2) e (√3/2, 3/2) .

4. Considere :

• a curva C obtida da circunferência de equação x² + y² + 2x – 4y – 4 = 0 por uma rotação, no sentido anti-horário, em torno da origem do sistema cartesiano, segundo um ângulo de π/2 radianos;

• a reta r que passa pelo centro de C e faz, com o eixo coordenado Ox, um ângulo α tal que α ɛ [π/2, π[ e tg(2α + π/3) = 0.

Determine uma equação de r.

  

                             Resposta da questão 4:

Completando os quadrados, obtemos:

x² + y² + 2x – 4y – 4 = 0 ↔ (x + 1)² – 1 + (y - 2)² – 4 – 4 = 0

(x + 1)² + (y - 2)² = 3²

Assim, o centro da circunferência é o ponto (- 1, 2)

O centro da circunferência corresponde à imagem do número complexo

- 1 + 2i, com i = √-1.

Logo, o centro de C é dado por (-1 + 2i).i = - 2 – i = (- 2, - 1).

Se tg(2α + π/3) = 0, então: tg(2α + π/3) = tg0 → 2α + π/3 = kπ

2α = - π/3 + kπ → α = - π/6 + kπ/2, k ɛ Z

Como α ɛ [π/2, π[ segue que α = 5π/6.

Portanto, uma equação de r pode ser y - (- 1) = tg5π/6 .[x - (- 2)]

y = -√3x/3 - (2√3 + 3)/3  

5. Na figura, os triângulos MNP e MNQ são retângulos com hipotenusa comum MN, o triângulo MNP é isósceles, e seus catetos medem cinco unidades de comprimento.

Considerando tg α = 1/3 e a área de MNQ igual a x unidades de área, determine o valor de 4x.

                         

  

                              Resposta da questão 5:

Como tg α = 1/3, segue que NQ/MQ = 1/3 ↔ MQ = 3.NQ

Se a área de MNQ é igual a x, então x = MQ.NQ/2 ↔ x = 3.NQ²/2

Sabendo que MNP é isósceles, segue de imediato que MN = 5√2 u.c.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo MNQ obtemos

MQ² + NQ² = MN² → (3NQ)² + NQ² = (5√2)² → NQ² = 5

Portanto, 4x = 4 . 3 . NQ²/2 = 6.5 = 30

6.  Determine o polinômio p(x) = bx⁴ + cx³ + dx, sabendo que :

• o coeficiente b é igual à soma dos termos da progressão geométrica infinita (6, 2, 2/3, 2/9, ... );

• o coeficiente d é igual ao termo a₅₀ da progressão aritmética decrescente (a₁, a₂, a₃,...), cujos termos a_5,  a_9, a₁₀ e a₁₄ são as abscissas dos pontos de interseção das curvas de equações x² + y² = 82 e  y = 9/x;

• o resto da divisão de p(x) pelo binômio x + 1 é igual a 40.

  

                          Resposta da questão 6:

Se B é igual à soma dos termos da P.G. (6, 2, 2/3, 2/9, ... ), então

b = 6/(1-1/3) → b = 9.

As abscissas dos pontos de interseção das curvas x² + y² = 82 e y = 9/x,

são tais que x² + (9/x)² = 82 → x⁴ – 82x + 81 = 0 → x² = 1 → x = ± 1 ou

x² = 81 → x = ± 9.

Como a P.A. (a₁, a₂, a₃, ... ) é decrescente, segue que a₅ > a₉ > a₁₀ > a₁₄ .

Logo, a₅ = 9, a₉ = 1, a₁₀ = - 1 e a₁₄ = - 9. Então, temos que a razão da P.A.

é r = a₁₀ – a₉ = - 1 – 1 = - 2 e, portanto, a₁₀ = a₁ + 9r → -1 = a₁ + 9.(-2) →

a₁ = 17.

Finalmente, obtemos d = a₅₀ = a₁ + 49.r = 17 + 49.(- 2) = - 81

Se o resto da divisão de p(x) pelo binômio x + 1 é igual a 40, então

p(- 1) = 40 → 9.(-1)⁴ + c.(-1)³ + (-81).(-1) = 40 → 9 – c + 81 = 40 → c = 50

Por conseguinte, p(x) = 9x⁴ + 50x³ – 81x.  

                                                  

7.  Dadas as matrizes

                

encontre o conjunto solução da inequação det(AB) ≤ 0, sendo det(AB) o

determinante da matriz produto AB.

                         Resposta da questão 7:

 Pelo Teorema de Binet, temos que det(AB) = detA . detB. Assim,

              

Portanto, o conjunto solução da inequação é S = ] - ∞, 0] U [2, 3[.  

  

8. Sobre as idades dos amigos X e Y, afirma-se:

• Há cinco anos, a idade de X era um número múltiplo de 4 e, de hoje a quatro anos, será um número múltiplo de 5.

• Há quatro anos, a idade de Y era um número múltiplo de 5 e, de hoje a cinco anos, será um número múltiplo de 4.

• Hoje, essas idades variam entre 40 e 60 anos.

Sendo assim, determine, em anos, a diferença entre as idades atuais de X e Y.

                         Resposta da questão 8:
 

Sejam a e b, respectivamente, as idades de X e de Y.

De acordo com as informações, temos que:

i. (a - 5) ɛ {36, 40, 44, 48, 52} e (a + 4) ɛ {45, 50, 55, 60}.

ii. (b – 4 ɛ {40, 45, 50, 55} e (b + 5) ɛ {44, 48, 52, 56, 60, 64}

Desse modo, (a, b) = (41, 59) e, portanto, 59 – 41 = 18.  

  

9. Sabendo que os gráficos das funções quadráticas f(x) = x²− 4x + 3 e g(x) = −x²−bx + c se intersectam em um ponto do eixo x e em um ponto do eixo y, determine o valor de b⁴c.

                                Resposta da questão 9:

Sejam P o ponto do eixo x e Q o ponto do eixo y onde as funções se interceptam.

Determinando f(0), temos: f(0) = 0² -4.0 + 3 ↔ f(0) = 3, logo Q (0,3).

Fazendo f(x) = 0, temos x² – 4x + 3 = 0 com x = 1 ou x = 3.

Logo, P(1,0) ou P = (3,0).

Como o ponto de encontro no eixo y é (0,3), concluímos que c = 3.

Portanto, a função g será dada por: g(x) = −x²−bx + 3.

Considerando P(1,0) o ponto de encontro no eixo x, temos 0 = -1² –b.1 + 3

↔ b = -1 + 3 ↔  b = 2.

Considerando P(3,0) o ponto de encontro no eixo x, temos 0 = -3² –b.3 + 3

↔ 3b = -3² + 3 ↔ 3b = - 6 ↔ b = 2.

Logo, b⁴.c = 2⁴.3 = 48.  

  

10. Considere o conjunto de todos os números de cinco algarismos distintos, formados com os algarismos 1, 3, 5, 8 e 9.

Escolhendo, aleatoriamente, um elemento desse conjunto, calcule a probabilidade de o número escolhido ser menor que o número 58931.

                              Resposta da questão 10:

 

                        

P = (17 + 48)/120 = 65/120 = 13/24 

11. Considere uma pirâmide triangular regular de altura h, contida no interior de uma esfera de raio r.

Sabendo que um dos vértices da pirâmide coincide com o centro da esfera, e os outros vértices são pontos da superfície esférica, determine, em função de h e r, a expressão do volume da pirâmide.

  

                         Resposta da questão 11:
 

h² + m² = r²  ↔  m² = r² – h ↔ m = 2/3 . a√3/2 ↔ a = 3m√3

a² = 3m²  a² = 3.(r² – h²)

                             

Calculando o volume V da pirâmide, temos:

V = 1/3 . A_b . h = 1/3 . a²√3/4 . h

V = 1/3 . 3.(r² – h²).√3/4 . h = (r² – h²)√3h/4

12. Considere, no plano cartesiano, os pontos A(0, 2), B(−2, 4), C(0, 6), A’(0, 0), B’(6√2, 0) e um ponto C’ que tem coordenadas positivas.

Sabendo que os ângulos BAC = B'A'C' e ACB = A'C'B', determine o produto das coordenadas do ponto C’.

                                     Resposta da questão 12:
 

Pelas informações do enunciado, os dois triângulos são retângulos e

isósceles, portanto B’C’ deverá ser igual a 6√2 e C’ será dado por:

(6√2, 6√2). Logo, o produto das coordenadas de C’ será 6√2 . 6√2 = 72.

                               

  

13. Considerem-se em um sistema de coordenadas cartesianas — tendo o metro como unidade de medida para os eixos Ox e Oy — duas partículas P₁ e P₂. Sabendo que, no instante t = 0, a partícula P₁ parte da origem, na direção positiva do eixo Oy, com velocidade constante de 2 m/s, e a partícula P₂ parte do ponto (10, 0) em direção à origem dos eixos com velocidade constante de 1m/s, escreva uma equação da reta que passa pelos pontos que determinam a posição das duas partículas no instante em que o quadrado da distância entre elas é mínimo.

                                 Resposta da questão 13:

d² = (2t)² + ( 10 –t)² → d² = 4t² + 100 – 20t + t² → d² = 5t² – 20t + 100

d² será máximo quando t = - (-20)/2.5 = 2 s

Utilizando a equação segmentária para t = 2, temos:

x/2t + y/(10 - t) = 1 → x/4 + y/8 = 1

                         

  

14.  Considere um trapézio T, de altura h = 2 u.c., base menor b = 4 u.c. e ângulos da base a = arctg2 e c = 45º.

Determine a área do trapézio T’, obtido de T por uma homotetia de razão 3/2 e centro em um ponto qualquer.

  

                             Resposta da questão 14:

Se  tg a = 2/x então  2 = 2/x → x = 1. Logo, B = 7

Na figura representamos a homotetia.

Calculando a área do novo trapézio, temos: A = (6 + 21/2).3/2 = 99/4 u.a.

                         

15. Considere o polinômio com coeficientes reais P(x) = 3x⁵ − 7x⁴ + mx³ + nx² + tx + 6.

Sabendo que P(x) é divisível por x² + 2 e possui três raízes reais que formam uma progressão geométrica, determine o resto da divisão de P(x) por x + 2.

  

                           Resposta da questão 15:

Sabendo que P(x) é divisível por x² + 2, concluímos que √2i e -√2i são

raízes de P(x).

Como as outras raízes estão em P.G, podemos escrevê-las: r/q, r, rq

Utilizando o produto de raízes (Girard), temos:

√2i.(-√2i).r/q.r.rq = -6/3 → 2r³ = -2 → r³ = -1 → r = - 1

Utilizando agora a soma de raízes, temos:

√2i + (-√2i) - 1/q -1 - q = 7/3 → -1/q – q -1 - 7/3 = 0 → -1/q –q - 10/3 = 0

- 3 – 3q² – 10q = 0 → 3q² + 10q + 3 = 0 → q = - 3 ou q = - 1/3

Concluindo então que as raízes são -1, 1 e 1/3.

Logo, P(x) poderá ser escrito P(x) = 3.(x² + 2).(x - 1/3).(x + 1).(x - 3) (teorema fundamental).

Calculando P(-2), temos 3.((-2)² + 2).(-2-1/3).(-2 + 1).(-2 - 3) (teorema do

resto).

Temos P(-2) = -210.

Portanto, o resto da divisão de P(x) por x + 2 é -210.  

16. Sendo x a medida de um arco, em radianos, determine as soluções da equação :

  4cos²(π/4).cosx.sen(π/2 - x) - cos(x + 7π) + sen(11π/2) = 0

que pertencem ao intervalo [−6, 8].

                               Resposta da questão 16:

Escrevendo uma equação equivalente, temos:

4.(√2/2)².cosx.cosx - (- cosx) + (- 1) = 0 → 2cos²x + cosx + 1 = 0

Resolvendo a equação na incógnita cosx, temos: cosx = 1/2 ou cosx = - 1

Logo, x = ± π/3 + k.2π ou x = π + k.2π.

Fazendo:

● k = - 2 → x = -11π/3 (não convém), x = -13π/3 (não convém), x = - 3π (não convém).

● k = - 1 → x = - 5π/3, x = - 7π/3 (não convém), x = - π .

● k = 0 → x = π/3, x = π/3 (não convém), x = π .

● k = 1 → x = 5π/3, x = 7π/3, x = 3π (não convém).

● k = 2 → x = 13π/3 (não convém), x = 11π/3 (não convém), x = 5π (não convém).

Portanto, as soluções da equação que pertencem ao intervalo dado são:

- 5π/3, - π, - π/3, π/3, π, 5π/3 e 7π/3. 

                            

  

17. Sabendo-se que o vértice da parábola de equação y = a₁x² + a₂x + a₃ é o ponto de interseção das curvas de equações y = log_1/2 (2^x- 4) e y = −2, e que a₁, a₂ e a₃ são elementos da progressão geométrica a₁, a₂, a₃, ..., calcule a₆.

  

                           Resposta da questão 17:
 

Igualando as duas funções, temos:

log_1/2 (2^x - 4) = -2 Û 2^x – 4 = (1/2)^-2Û 2^x = 8 Û x = 3 logo o vértice da

parábola é o ponto V(3,-2).

Chamando a P.G. (a_1, a₂, a₃, ...) de (y/q, y , y.q, ...), vem :

-b/2a = 3 → -y/(2a/q) = 3 → q = - 6.

- ∆/4a = -2 → -(y² – 4.y/q . yq)/(4y/q) = - 2 → y = 4/9 ou y = 0 (não convém)

Logo a P.G será (-2/27, 4/9, -8/3, ...) e a₆ = -2/27 . (- 6)⁵ = 576.  

18. Um quadrado mágico é uma matriz quadrada de ordem maior ou igual a 3, cujas somas dos termos de cada linha, de cada coluna, da diagonal principal e da diagonal secundária têm o mesmo valor, que é chamado de constante mágica.

Estabeleça um sistema de equações que permita determinar os valores de x, y e z que tornam a matriz A um quadrado mágico e calcule esses valores.

                           

  

                 

                        Resposta da questão 18:

L₁ = (– 2x + 3) + (z + 9) + (x + 2y + 1) = – x + 2y + z + 13

L₂ = (x + y + 2) + (– y + 8) + (– x + 8) = 18

L₃ = (– 4z + 5) + (y – z + 1)+ (– x + z + 4) = – x + y – 4z + 10

C₁ = (– 2 x + 3) + (x + y + 2) + (– 4z + 5) = – x + y – 4z + 10

C₂ = (z + 9) + (– y + 8) + (y – z + 1) = 18

C₃ = (x + 2y + 1) + (– x + 8) + (– x + z + 4) = – x + 2y + z + 13

D_p = (– 2 x + 3) + (– y + 8) + (– x + z + 4) = –3 x – y + z + 15

D_S = (– 4z + 5) + (– y + 8) + (x + 2y + 1) = x + y – 4z + 14

                    

Resolvendo o sistema por escalonamento, tem-se

Assim, x = – 2, y = 2, z = – 1.   

19. Sendo è o ângulo formado entre uma diagonal e uma face de um mesmo cubo, determine 1/sen²ϴ.

                     Resposta da questão 19:

                              

1/sen²ϴ  = 1/(a/a√3)² = 1/(1/3) = 3  

  

20. Sobre um cilindro circular reto C e uma pirâmide triangular regular P sabe-se que :

● C tem volume igual a 24πcm³ e área de cada base igual a 4πcm²,

● P tem a mesma altura que C e base inscrita em uma base de C.

Calcule o volume do tronco dessa pirâmide determinado pelo plano paralelo à base que dista 2 cm do vértice.

                            Resposta da questão 20:
 

                          

● Na figura 1 - cálculo da altura h do cilindro, 4π.h = 24 π Û h = 6 cm (altura da pirâmide).

● Na figura 2 - área da base da pirâmide: A_b = 3.(1/2).2.2.sen120^o Û

A_b = 3√3 cm²._.

● Na figura 3, utilizando proporcionalidade, temos:

S/3√3 = (2/6)² ↔ S = √3/3 e seja V o volume do tronco assinalado.

V = volume da pirâmide maior – volume da pirâmide menor.

V = 1/3 . 3√3.6 - 1/3 . √3/3 . 2 ↔ V = 52√3/9 cm³

.  

21. Considerem-se, no plano cartesiano, os subconjuntos

A = {(x, y) ɛR²; x² + y² ≤ 4}, B = {(x, y) ɛR²; y ≤ √3|x|} e

C = {(x, y) R²; y ≥ - √2}.

Calcule a área da região definida por A ∩ B ∩ C.

  

                              Resposta da questão 21:

 

                           

Na figura a = 60^o (pois tgα = √3) e β = 45⁰ (pois cosβ = √2/2)

Logo, a área pedida será:

A = 2.área (60^o) + 2.área(45^o) + área do triângulo

A = 2.π.2²/6 + 2.π.2²/8 + 22/2 → A = (6 + 7π)/3

  

22. Sendo Z₁ e Z₂ números complexos tais que

● Z₁ é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no segundo quadrante,

● Z₂ satisfaz a equação x⁴ + x² − 12 = 0 e Im(z₂) > 0, calcule |√3Z₁/Z₂ + Z₂^"|,

Onde Z₂^", indica o conjugado de Z_2.

                           Resposta da questão 22:

Determinando z₁ na forma trigonométrica: z₁ = p(cos a + i sen a)

p³( cos (3.a) + i sen (3.a )) = 8.(cosπ/2 + i.senπ/2)

Por comparação temos: p = 2 e a = (π/2 + k.2π)/3

● k = 0 → z = 2(cosπ/6 + i.senπ/6) = √3 + i

● k = 1 → z = 2(cos5π/6 + i.sen5π/6) = -√3 + i

● k = 2 → z = 2(cos3π/2 + i.sen3π/2) = -2i

Assim, z₁ = - √3+ i.

• Cálculo de z₂

x² = y, obtém-se a equação y² + y – 12 = 0 que tem raízes y = –4 e y = 3.

Para y = –4 Û x = ± 2i e para y = 3 Û x = ± √3.

Logo, z₂ = 2i → |√3Z₁/Z₂ + Z₂^"| = |√3(-√3+i)/2i – 2i| = |-3/2i + √3/2 – 2i| =

|(-3/2i – 2i) + √3/2 | = |(3i/2 – 2i) + √3/2 | = |√3/2 - i/2 | = √(3/4 + 1/4) = 1

  

23. Dadas as funções reais :

            

determine x, pertencente ao intervalo [0, π/2[ tal que [f(x)]² + g(x) - 7/4 = 0

  

                         Resposta da questão 23:

Cálculo de g(x).

Escrevendo a equação temos: sen² x + 1 + 1 + cos(x + π/2) - 7/4 = 0

sen² x – senx + 1/4 = 0 → 4sen² x – 4senx + 1 = 0

Resolvendo, temos senx = 1/2 → x = π/6.  

24.  Considere a proposta, elaborada por um cidadão interessado em melhorar o sistema penitenciário: Durante o período da pena, o presidiário tem a opção de trabalhar, no próprio presídio, nos dias em que ele escolher, exceto aos sábados e domingos, e cada três dias de trabalho reduz um dia da sua pena.

De acordo com essa proposta, se um presidiário, condenado a 364 dias de detenção, resolver trabalhar todos os dias possíveis desde o seu ingresso no presídio, terá direito à liberdade t dias antes de completar a pena. Determine t.

  

                           Resposta da questão 24:
 

A cada 21 (3 semanas) temos 15 dias trabalhados e 5 dias de desconto.

Logo 21 dias correspondem a 21 + 5 = 26 dias da pena total.

Dividindo 364 por 26 encontramos 14 (grupos de 26 dias).

Logo, o número de dias descontados será 14.5 = 70.  

25.  O gráfico representa a função f: R  ]1, +∞[; f(x) = a + b.2^nx, sendo a, b e n constantes reais. A partir dessas informações, calcule f^-1(x).

                         

                               Resposta da questão 25:

Sendo f(x) = a + b.2^nx, então como seu gráfico foi deslocado uma unidade

para cima, a = 1.

(0, 3) ɛ f(x) → 3 = a + b.2^n.0 → 3 = a + b → 3 = 1 + b → b = 2

(-1, 5) ɛ f(x) → 5 = a + b.2^-n → 5 = 1 + 2.2^-n → 4 = 2.2^-n → 2² = 2^{1 – n}

2 = 1 – n → n = - 1.

Como f(x) = a + b.2^nx então f(x) = 1 + 2.2^-x → y = 1 + 2.2^-x

Portanto sua inversa será, x = 1 + 2.2^-y → x - 1 = 2.2^-y →

(x - 1)/2 = 2^-y → log₂ (x - 1)/2 = log₂ 2^-y → log₂ (x - 1) – log₂ 2 = - y. log₂ 2

log₂ (x - 1) – 1 = - y → y^-1 = 1 – log₂(x - 1) → f^-1(x) = 1 – log₂(x - 1)