QUESTÕES VESTIBULAR Ufsc 2018 – COMENTADAS.

1. (Ufsc 2018)  É correto afirmar que :

01) A função f : R → R definida por f(x) = 2senx.cosx  é ímpar e de período fundamental 2π.   

02) A equação cos(3π/2 - x) = - senx é satisfeita para todo x ɛ R.   

04) Seja f : ]- π/2, π/2[ → R definida por f(x) = cosx.(2x). A função é crescente no intervalo ]- π/2, 0], decrescente em [0, π/2) e não possui raízes reais.   

08) Numa progressão aritmética a₁₂ + a₂₁ = 302 e a₂₃ + a₄₆ = 446, então o terceiro termo dessa sequência é 97.

  

16) Se cossecx = 2 e 0 < x < π/2, então tgx é um número irracional.   

32) Se f : R → A é sobrejetora e definida por f(x) = a + b.senx com a, b ɛ  R tais que a > b > 0, então A = [0, a + b].   

  

Resposta da questão 1 : 02 + 08 + 16 = 26.

[01] De f(x) = 2senxcosx, f(x) = sen2x.

       Sendo P o período de f, P = 2π/|m|, onde "m" é o coeficiente de x,

      

       P = 2π|2| = π. Portanto, a afirmação [01] é falsa.

[02] De cos(3π/2 - x) = - senx → sen[π/2 - (3π/2 - x)] = - senx

       sen(π/2 - 3π/2 + x) = - senx → sen(x - π) = - senx

       - sen(π - x) = - senx . Portanto, a afirmação [02] é verdadeira.

[04] De f : ]-π/2, π/2[ → R, f(x) = cosx.(2x) → f(x) = 0 ↔ cosx.(2x) = 0

 Se cosx.(2x) = 0, cosx = ou 2x = 0.

Como 0 ɛ ]-π/2, π/2[  a função f apresenta raiz real.

Portanto, a afirmação [04] é falsa.

[08] De a₁₂ + a₂₁ = 302 →  a₃ + 9r + a₃ + 18r  = 302 → 2a₃ + 27r = 302 (eq. I)

     

       De a₂₃ + a₄₆  = 446 →  a₃ + 20r + a₃ + 43r  = 446 → 2a₃ + 63r = 446 (eq. II)

  

       Através das equações I e II, (2a₃ + 63r) - (2a₃ + 27r) = 446 - 302

       2a₃ + 63r - 2a₃ - 27r = 144 → 36r = 144 → r = 4

Substituindo r = 4 na equação I, 2a₃ + 27.4 = 302 → 2a₃ = 194 → a₃ = 97

      Portanto, a afirmação [08] é verdadeira.

[16] De 1 + cotg²x = cossecx e cossecx = 2, com 0 < x < π/2 vem,

       1 + cotg²x = 2² → cotg²x = 4 – 1 → cotg²x = 3 → tg² = 1/3 → tgx = √3/3

       ou seja, tgx é um número irracional.

Portanto, a afirmação [16] é verdadeira.

[32] De f : R → A, f(x) = a + bsenx,  com a e b reais.

       f_máx = a + b.1 = a + b  e  f_min = a + b.(-1) = a - b 

      Como a > b > 0, a – b > 0 e Im_f = [a – b, a + b].

      Se f é sobrejetora, A = [a – b, a + b] e não A = [0, a + b]

       Portanto, a afirmação [32] é falsa.  

2. (Ufsc 2018)  É correto afirmar que :

01) O domínio da função f(x) = 1/√(5 - |x - 3|) é um intervalo (a, b). A soma de a com b é 6.

  

02) Se f : [1, ∞) → [1, ∞) definida por f(x) = x² – 2x + 2 admite inversa, então f^-1(5) = 3.   

04) Se f : R → R é uma função definida por f(x) = x² + 1, se x ≥ 0 e

       f(x) = x + 1, se x < 0, então fof(- 1) = 1.

08) O sistema log₂(x + y) = 0  e log₃2 + log₃y = log₃x tem infinitas soluções.   

16) Se f : A→ B  e g : B → C são injetoras, então gof : A → C pode não ser injetora.   

  

Resposta da questão 2 : 01 + 02 + 04 = 07.

[01] Na função f(x) = 1/√(5 - |x - 3|), o domínio é dado por 

       D_f  = {x ɛ R; 5 - |x - 3| > 0}, portanto 5 - |x - 3| > 0 → - |x - 3| > - 5.(- 1)

       |x - 3| < 5 → - 5 < x – 3 < 5 → - 5 + 3 < x < 5 + 3 → - 2 < x < 8.

      Assim sendo a = - 2 e b = 8, logo a + b = 6.

Portanto, a afirmação [01] é verdadeira.

[02] Como f(x) = x² – 2x + 2 admite inversa e f(3) = 3² – 2 . 3 + 2 = 5, então      

      

        f^-1(5) = 3.

  Portanto, a afirmação [02] é verdadeira.

[04] De f(x) = x² + 1, se x ≥ 0 e  f(x) = x + 1, se x < 0, então f(- 1) = - 1 + 1 = 0

        e f(f(- 1)) = f(0) = 0² + 1 = 1 → f(f(- 1)) = 1.

        Portanto, a afirmação [04] é verdadeira.

[08]  De log₂(x + y) = 0 (eq. I) → x + y = 2⁰ → x + y = 1 (eq. III)  e

        log₃2 + log₃y = log₃x (eq. II) →  log₃2y = log₃x → 2y = x (eq. IV)

  Das equações III e IV, 2y + y = 1 → 3y = 1 → y = 1/3 e x = 2/3

  Assim, o sistema possui solução única, (2/3, 1/3)

  Portanto, a afirmação [08] é falsa.

[16] Como f e g são injetoras, gof  também é injetora.

        Portanto, a afirmação [16] é falsa.  

3. (Ufsc 2018)  É correto afirmar que :

01) Sejam A, B e O matrizes quadradas de ordem n, sendo O a matriz nula. Se A . B = O, então A = O ou B = O.

                      cosӨ    - senӨ

02) Se A =                                 , sendo Ө ɛ [0, 2π], então A^{- 1} = A^T.

                      senӨ     cosӨ

                                                                                                                     

04) Considere a função f : R → R definida por  :

                            

                                                                                                  

 A função possui raiz real para qualquer valor real de α.   

                     

08) Se  

                       

são matrizes com elementos complexos e C = A.B, então c₁₁ é um número real e c₂₂ = - 5 – 2i.  

16) Uma concessionária de automóveis vendeu 72 carros em um ano. Desses, o número de carros nacionais foi cinco vezes o número de carros importados. O lucro na venda de um carro nacional é de R$ 2000,00 e na de um carro importado é de R$ 2800,00. O lucro obtido pela concessionária foi de R$ 153.600,00.   

32) A única solução da equação linear 3x + 4y – z = 6 é (1, -1, -7).   

  Resposta da questão 3 : 02 + 16 = 18.

    [01] Observemos o contraexemplo:

        

Portanto, a afirmação [01] é falsa

[02] De

                  cosӨ    - senӨ                                           cosӨ     senӨ

         A =                                      , então  A^-1 = A^t =

                  senӨ      cosӨ                                           -senӨ    cosӨ

       

        Logo, A^-1 = A^t

        Portanto, a afirmação [02] é verdadeira.

    

         [04] De

    

                           

      

        f(x) = α . (3 + α) - (-x) . (x - 1) = 3α + α² - (- x² + x)

       f(x) = 3α + α² - (- x² + x) = x² – x + α² + 3α

       f(x) = 0 ↔ x² – x + α² + 3α = 0 → x = [-(-1) ± √((-1)² – 4.1.(α² + 3α))]/2

       x = [1 ± √(1 - 4α² - 12α)]/2.

       Assim, f terá raiz real se, e somente se, 1 - 4α² - 12α ≥ 0, logo, não é

       para qualquer valor real de α.

 Portanto, a afirmação [04] é falsa.

          [08] 

                              

  e  C = A.B → c₁₁ = a₁₁ . b₁₁ + a₁₂ . b₂₁   e  c₂₂ = a₂₁ . b₁₂ + a₂₂ . b₂₂

  ● De c₁₁ = a₁₁ . b₁₁ + a₁₂ . b₂₁  = (2 + 3i).(2 – 3i) + 10.i³⁰

  c₁₁ = 4 – 9i² + 10.(i²)¹⁵ = 4 – 9.i² + 10.(-1)¹⁵ = 4 – 9.(-1) + 10.(-1) = 3

      

        ● De c₂₂ = a₂₁ . b₁₂ + a₂₂ . b₂₂ = i.0 + (2 + 5i).1/i = 2/i + 5i/i

         c₂₂ = 2i/i² + 5 = -2i + 5 = 5 – 2i

          Portanto, a afirmação [08] é falsa.

      [16] Do enunciado, temos:

- número de carros nacionais vendidos pela concessionária em um  

  ano: 5x

- número de carros importados vendidos pela concessionária em um

  ano: x

         Daí, 5x + x = 72 → 6x = 72 → x = 12.

  Sendo L o lucro da concessionária no ano em questão,

   L = 5.12.20000 + 12.2800 → L = 153600

   Portanto, a afirmação [16] é verdadeira.

         [32] Uma solução da equação linear 3x + 4y – z = 6  é (0, 0, - 6), logo,

         (1, - 1, - 7) não é a única solução de tal equação.

         Portanto, a afirmação [32] é falsa.  

4. (Ufsc 2018)  É correto afirmar que :

01) O polinômio p(x) = x³ + x não possui duas raízes complexas.   

02) O resto da divisão do polinômio p(x) = xⁿ + 1 por (x - 1) é – 2.

  

04) Existem números reais a e b tais que o quociente da divisão exata do polinômio p(x) = - x⁴ + 5x² + ax + b por x² + 5x + 6 é q(x) = - x² + 5x – 14.

  

08) Se α, β e γ  são as raízes da equação x³ + 4x² – 2x – 3 = 0, então

      α² +  β² + γ² = 20.

  

16) Na equação algébrica x³ + kx² + tx – 4 = 0, os valores de k e t são inteiros. Se (1 + i) e 2 são raízes dessa equação, então k + t = 2.   

Resposta da questão 4 : 04 + 08 + 16 = 28. 

[01] De p(x) = x³ + x → x³ + x = 0 → x(x² + 1) = 0 → x = 0 ou x² + 1 = 0

 De x² = 1 = 0, x² = -1 → x = i ou x = -i

       Portanto, a afirmação [01] é falsa.

[02] O resto da divisão do polinômio p(x) = xⁿ + 1 por (x - 1) é p(1)

  De p(x) = xⁿ + 1→ p(1) = 1ⁿ + 1→ p(1) = 2

[04] De x² + 5x + 6  e q(x) = - x² + 5x – 14,

       (x² + 5x + 6) . (- x² + 5x – 14) = -x⁴ + 5x³ – 14x² - 5x³ + 25x² – 70 – 6x² +

       + 30x – 84 = -x⁴ + 5x² + 30x - 154

        Assim, tomando a = 30 e b = - 154, p(x) é divisível por x² + 5x + 6

  Portanto, a afirmação [04] é verdadeira.

[08] Como α, β e γ  são raízes da equação x³ + 4x² – 2x – 3 = 0

  α + β + γ = -4 (eq.I) e αβ + αγ + βγ = -2 (eq. II)

Da eq. I → (α + β + γ)² = α² + β² + γ² + 2(αβ + αγ + βγ) (eq. III)

  

      Das eq. I, II e III, (α + β + γ)² = α² + β² + γ² + 2(αβ + αγ + βγ)

      (-4)² = α² + β² + γ² + 2(-2) → 16 = α² + β² + γ²  - 4 → α² + β² + γ² = 20.

      Portanto, a afirmação [08] é verdadeira.

[16] Como k e t são inteiros, portanto, reais, se 1 + i é raiz da equação

        x³ + kx² + tx – 4 = 0, 1 - i também é raiz. Dessa forma, as raízes da

        equação  x³ + kx² + tx – 4 = 0 são 1 + i, 1 - i e 2.

   Pelo Teorema da Decomposição, Se P(x) = x³ + kx² + tx – 4,

   P(x) = a.(x - x').(x - x'').(x - x''') → P(x) = 1.(x - (1+i)).(x - (1-i)) . (x - 2)

   P(x) = (x - 1) - i).(x - 1) + i)).(x - 2) → P(x) = ((x - 1)² – i²).(x - 2)

   P(x) = (x² – 2x + 1 - (-1)).(x - 2) → P(x) = (x² – 2x + 2).(x - 2)

   P(x) = x³ – 2x² – 2x² + 4x + 2x – 4 → P(x) = x³ – 4x² + 6x - 4

         Assim, k = - 4 e t = 6, ou seja, k + t = 2

         Portanto, a afirmação [16] é verdadeira.