QUESTÕES VESTIBULAR Fepar 2017 – COMENTADAS

1.No atual contexto de migrações para a Europa, a Bulgária realocou 2 mil cotas até setembro de 2015, e a Alemanha 40 mil cotas. Sabe-se que os números de cotas de Bulgária, Suécia e Espanha, nessa ordem, estão em progressão geométrica; os de Espanha, França e Alemanha, nessa ordem, estão em progressão aritmética crescente, totalizando 87 mil (cotas) para esses três últimos países.

Número de migrantes que os países da EU podem receber, segundo as cotas

 ( em mil ) : Alemanha = 40 ; França = ? ; Espanha = ? ; Suécia = ? ; Bulgária = 2

Considere os dados e avalie as afirmativas.

(     )  A razão da progressão aritmética é de 11 mil cotas.   

(     )  Os 5 países realocaram 95 mil cotas.   

(     )  A razão da progressão geométrica é de 2 mil cotas.   

(     )  A média de cotas realocados dos cinco países é de 19 mil.   

(     )  A Suécia realocou o dobro de cotas da Bulgária.   

Resposta da questão 1: V – V – F – V – F.

[V] Calculando:

PA : Espanha = x – r ; França = x e Alemanha = x + r = 40 mil

        Soma da PA = x – r + x + x + r = 87 → 3x = 87 → x = 29

        x + r = 40 → r = 11 mil cotas

[V] Calculando:

         PA : Espanha = x – r = 29 - 11 = 18 mil ; França = x = 29 mil e

        Alemanha = x + r = 40 mil

         PG : Bulgária : y/q = 2 mil ; Suécia = y e Espanha = yq = 18 mil

         y/q . yq = 18 . 2 = 36 → y = 6 mil

cinco países = 18 + 29 + 40 + 2 + 6 = 95 mil cotas

[F] Calculando:

PG : Bulgária : y/q = 2 mil ; Suécia = y = 6 mil e

        Espanha = yq = 18 mil

         yq = 18 → 6q = 18 → q = 3

[V] Calculando:

Média cinco países = ( 18 + 29 + 40 + 2 + 6 ) / 5 = 95/5 = 19 mil     cotas

[F] A Suécia realocou 6 mil cotas e a Bulgária realocou 2 mil cotas, portanto três vezes mais.   

 2.No salto com vara, o atleta deve ultrapassar o sarrafo, colocado em determinada altura, tomando impulso suficiente e se elevando com a utilização de uma vara flexível. Desde o momento da impulsão até o momento de altura máxima, o atleta desenvolve um deslocamento vertical (H) e horizontal (x) em forma de parábola: H = ax² + bx + c. O ponto x = 0 corresponde ao momento da impulsão; após atingir a altura máxima, o atleta cai verticalmente. O sarrafo está a 4,9 metros de altura; a altura máxima atingida pelo atleta é de 5 metros (H=5, o ponto máximo da parábola) e está horizontalmente a 5 metros do ponto de impulsão. Sabendo que a altura H foi medida considerando a parte mais baixa do corpo do atleta, avalie as afirmativas.

(     )  O valor do coeficiente a da parábola é 0,2  

(     )  A relação entre o deslocamento vertical (H) e horizontal (x) é dada por H = 0,2x² + 2x  

(     )  O valor do coeficiente b da parábola é 2.  

(     )  Após se deslocar horizontalmente 1m do ponto de impulsão, o atleta irá atingir uma altura de 2m  

(     )  O atleta conseguiu ultrapassar o sarrafo.   

Resposta da questão 2: F – F – V – F – V.

[F] Sabendo que a parábola tem concavidade para baixo, conforme gráfico apresentado, sabe-se que a<0

[F] Sabendo que a parábola tem concavidade para baixo, conforme gráfico apresentado, sabe-se que a<0

[V] Calculando:

H = ax² + bx + c

Pontos (0,0) e (5,5)

0 = 0.a + 0.b + c = 0 → c = 0

5 = a . 5² = 5 . b → 25a + 5b = 5 → 5a + b = 1

x_v = 5 = -b/2a → b = -10a

5a – 10a = 1 → a = -0,2 → b = 2

[F] Conforme cálculos do item anterior, tem-se:

H = -0,2x² = 2x

Ponto (1,2) pertence?

2 = -0,2 . 1² + 2.1 → 2 ≠ 1,8

[V] Se o sarrafo está posicionado a uma distância horizontal de 4,9 metros do ponto de impulsão, então a altura máxima do atleta atingida nesse instante será:

H = -0,2x² = 2x

               H = -0,2 . 4,9² + 2.4,9 → H = 4,998 > 4,9 m ( altura do sarrafo )

               Logo, o atleta consegue ultrapassar o sarrafo.  

 

3. O retângulo áureo é uma forma de grande apelo estético e das mais utilizadas na arquitetura antiga e moderna (as pirâmides e o Partenon, por exemplo, têm as dimensões frontais do retângulo áureo). A proporção áurea também é recorrente em outras obras de arte; é comum sua utilização em pinturas renascentistas, como as do mestre Giotto e as de Leonardo da Vinci.

         Phi, como é denominado o número de ouro, está vinculado à lógica da natureza (nas constelações, nas estruturas biológicas) e pode ser verificado no homem (o tamanho das falanges dos dedos, por exemplo). Justamente por ser encontrado em estruturas naturais, o número de ouro ganhou status de "ideal", tornando-se tema de pesquisadores, artistas e escritores. O fato de ser expresso em matemática é que o torna fascinante.

Matematicamente falando, a proporção áurea é uma constante real algébrica irracional obtida quando dividimos uma reta em dois segmentos, de forma que o segmento mais longo, dividido pelo segmento menor, dê um número igual ao da reta completa dividida pelo segmento mais longo.

Considere o retângulo PQST semelhante ao retângulo RSTU Sabendo que o triângulo PXU não é isósceles, avalie as afirmativas ( considere ᵠ= a/b )

                                        

(     )  Em razão da semelhança entre os dois retângulos é possível afirmar que a² – ab – b² = 0 .

(     )  A razão entre a área do quadrado PQRU e a área do retângulo RSTU é ᵠ .

(     )  Em razão da semelhança entre os dois retângulos é possível afirmar que ᵠ² - ᵠ - 1 = 0.  

(     )  A proporção a/b + a/b = 1 é verdadeira.  

(     )  A relação entre os lados b e a é dada por b = a(√5 – 1)/2  

  

Resposta da questão 3:  V – V – V – F – V.

[V] Teremos:

        b/a = a/(a+b) → ab + b² = a² → a² – ab – b² = 0

[V] Teremos:

       S_PQRU/S_RSTU = a²/ab = a/b = ᵠ

[V] Utilizando-se a relação encontrada no primeiro item, teremos:

(a² – ab – b²)/b² = 0/b² →a²/b²-ab/b²-b²/b² = 0 → a²/b² – a/b – 1 = 0 → ᵠ² - ᵠ - 1 = 0

[F] Não, a proporção verdadeira é a²/b² – a/b = 1, conforme calculado no item anterior.

[V] Utilizando-se a relação encontrada no terceiro item, teremos:

        a²/b² – a/b – 1 → ᵠ² - ᵠ - 1 = 0 → Δ = 5 → ᵠ = (1 ±√5)/2

        a/b = (1-√5)/2 → b/a = 2/(1-√5) → b = a(√5-1)/2