1. Após o encerramento das inscrições para
determinado curso de uma faculdade, a razão entre o número de vagas e o número
de candidatos era 1/80. Suponha que, após o encerramento das inscrições, essa
faculdade tenha aberto mais 20 vagas para esse curso e que N candidatos não
tenham comparecido aos exames, o que fez com que a razão entre o número de
vagas e o número de candidatos passasse a ser 1/73 . Se o número de vagas
oferecidas para esse curso antes do encerramento das inscrições era 240, o
valor de N é :
(A) 280.
(B) 220.
(C) 260.
(D) 240.
(E) 300
Vejamos :
... a razão entre o número de vagas(x) e o número de candidatos(y)
era 1/80 → x/y
= 1/80.
.. mais 20 vagas para esse curso e que N candidatos não tenham
comparecido aos exames, o que fez com que a razão passasse a ser 1/73 → (x + 20)/(y - N) = 1/73.
... Se o número de vagas oferecidas para esse curso antes do
encerramento das inscrições era 240, qual o valor de N ? → x/y = 1/80→
240/y = 1/80 → y = 19200.
Portanto (240 + 20)/(19200 - N) = 1/73 → 260.73 = 19200 – N →
18980 = 19200 – N → N = 19200 – 18980 → N = 220
2. Durante um treino, 15 atletas deram uma
volta completa ao redor de uma pista de atletismo e, em média, cada atleta
gastou 3 minutos e 20 segundos na volta. Desconsiderando-se o tempo do atleta
mais rápido, cada atleta gastou, em média, 3 minutos e 25 segundos. O tempo
gasto pelo atleta mais rápido para dar essa volta foi :
(A) 2 minutos e 25 segundos.
(B) 3 minutos e 5 segundos.
(C) 2 minutos e 5 segundos.
(D) 2 minutos e 40 segundos.
(E) 2 minutos e 10 segundos.
Vejamos :
... 15 atletas (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o)
... deram uma volta completa ao redor de uma pista de atletismo e,
em média, cada atleta gastou 3 minutos e 20 segundos na volta. →(a + b + c + d
+ e + f + g + h + i + j + k + l + m + n + o)/15 = 3min20seg = 200 segundos,
onde ''a'' é o mais rápido.
... desconsiderando-se o tempo do atleta mais rápido, cada atleta
gastou, em média, 3 minutos e 25 segundos → →( b + c + d + e + f + g + h + i +
j + k + l + m + n + o)/14 = 3min25seg → (b + c + d + e + f + g + h + i
+ j + k + l + m + n + o) = 14.(3min25seg) = 14.205 = 2870 segundos
Substituindo a segunda equação na primeira, vem :
a + (b + c + d + e + f + g + h + i + j + k + l + m + n + o) = 15.200
= 3000
a + 2870 = 3000 → a = 130 segundos → a
= 2 minutos e 10 segundos
3. Considere as funções f(x) = x + k, g(x)
= 2x+1 e h(x) = x2 – p, com k e p números reais. Sabendo
que f(1) = g(1) e que f(-1) = h(2), o valor de f(g(h(1))) é :
(A) 4.
(B) 5.
(C) 3.
(D) 6.
(E) 2.
Vejamos :
● f(1) = g(1) → 1 + k = 21+1 → 1 + k = 4 → k = 3
● f(-1) = h(2) → - 1 + k = 22 – p → - 1 + 3 = 22
– p → p = 4 + 1 – 3 → p = 2
Portanto f(x) = x + 3, g(x) = 2x+1 e h(x) = x2
– 2, então f(g(h(1))) =
f(g(12 - 2)) = f(g(- 1)) = f(2-1 + 1) = f(1) =
1 + 3 = 4
4. A reta r de equação y = 2x + 1 é
perpendicular à reta s no ponto C(1, 3). Considerando o ponto P(k, k+4) na reta
r e o ponto Q(x, 2) na reta s, a distância entre P e Q é :
(A) 4.
(B) 6.
(C) 3.
(D) 5.
(E) 7.
Vejamos :
Se a reta ''s'' é perpendicular a ''r'': y = 2x + 1, então seu coeficiente
angular será - 1/2 , portanto ''s'': y = - x/2 + b.
Como ''s'' passa no ponto C(1, 3), então 3 = - 1/2 + b → b = 7/2
... Considerando o ponto P(k, k+4) na reta ''r'' → k + 4 = 2k + 1 →
k = 3 e
o ponto Q(x, 2) na reta ''s'' → 2 = - x/2 + 7/2 → 4 = - x + 7 → x =
3.
Portanto P(k, k+4) = P(3, 3+4) = P(3,
7) e Q(x, 2) = Q(3, 2)
Finalmente dPQ = √[(xQ – xP)2
+ (yQ – yP)2] = √[(3 – 3)2 + (2– 7)2]
= 5
5. Em uma farmácia, uma seringa hipodérmica
custa R$ 1,00 a mais do que um pacote de gaze e R$ 2,50 a menos do que um par
de luvas cirúrgicas. Sabendo que os três itens juntos custam R$ 18,00, o valor
da seringa e do pacote de gaze juntos supera o valor do par de luvas em :
(A) R$ 2,50.
(B) R$ 2,00.
(C) R$ 3,00.
(D) R$ 3,50.
(E) R$ 4,00.
Vejamos :
Supondo → seringa hipodérmica = x ; pacote de gaze = y e par de
luvas
cirúrgicas = z.
... seringa hipodérmica custa R$ 1,00 a mais do que um pacote de
gaze →
x =
y + 1 → y = x – 1 e R$ 2,50 a menos do que um par de
luvas cirúrgicas →
x =
z – 2,5 → z = x + 2,5
... Sabendo que os três itens juntos custam R$ 18,00 → x + y + z = 18
Resolvendo o sistema por substituição, vem : x + x – 1 + x + 2,5 =
18 →
3x + 1,5 = 18 → 3x = 16,5 → x
= 5,5 → y = 4,5 e z = 8,0
... o valor da seringa e do pacote de gaze juntos supera o valor do
par de luvas em R$
2,00 → x + y = 10 e z = 8,0
6. Considere as matrizes A e B , com k um número real positivo.
Sabendo que A ⋅ B =
C e que o det C = 34, o valor da soma dos elementos da diagonal secundária da
matriz C é :
(A) 6.
(B) 4.
(C) 5.
(D) 2.
(E) 3.
Como det C = 5K - (1 – 2K).(K + 6) = 5K - (K + 6 - 2K2 –
12 K) =
= 5K - K - 6 + 2K2 + 12 K = 34 → 2K2 + 16 K –
40 = 0 → K2 + 8 K – 20 = 0 →
∆ = 82 – 4.1.(- 20) = 144 → k = (- 8 ± 12)/2 → k' = 2 ou k'' =
- 10(não convém)
Portanto a soma dos elementos da diagonal secundária da matriz C é
1 – 2k + k + 6 = 7 – k = 7 – 2 = 5
7. Em uma urna foram colocados 30 cartões
numerados de 11 a 40. Retirando-se aleatoriamente um desses cartões, a
probabilidade de a soma dos algarismos do cartão retirado ser um número primo,
sabendo que o número do cartão é ímpar, é :
(A) 3/5
(B) 2/5
(C) 2/3
(D) 1/5
(E) 1/3
Vejamos :
Números dos cartões ímpares → 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27,
29, 31, 33, 35, 37, 39.
... soma dos algarismos do cartão retirado ser um número primo → 11,
21, 23, 25, 29.
Portanto a probabilidade é 5/15 = 1/3
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