QUESTÕES VESTIBULAR Uem – pas 2017 - COMENTADAS

1. (Uem-pas 2017)  Considere os seguintes subconjuntos de R :

A = {a / a é primo}

B = {b / b = 2n + 1, n ɛ Z}

C = {c / c = p/q, p e q ɛ Z, q ǂ 0}

Assinale a(s) alternativa(s) correta(s).    

01) A está contido em B   

02) Se b₁ e b₂ ɛ B então (b₁ + b₂) ɛ B.   

04) O conjunto complementar de B em relação ao conjunto Z é D = {d / d = 2n, n ɛ Z}.   

08) Se C' esta contido em C é o conjunto dos números p/q, tal que p = q.n, n ɛ Z, então C' = Z.   

16) √2/2 ɛ C.   

  

Resposta da questão 1: 04 + 08 = 12.

[01] Falsa. 2 é um número primo é não pode ser escrito na forma 2n + 1, sendo n um número inteiro.

[02] Falsa. A soma de dois números ímpares é sempre um número par.

[04] Verdadeira. Sendo B o conjunto dos números ímpares, o complementar de B será o conjunto dos números pares.

[08] Verdadeira. Considerando que p = q . n, temos p/q = q.n/q = n (número inteiro), logo C' =  Z.

[16] Falsa, pois√2 não pertence a C.  

2. (Uem-pas 2017)  Considere as seguintes funções reais:

f(x) = ax + b, a,b ɛ R

g(x) = 1/(x - c), c ɛ R, x ǂ c

h(x) = (x - d).(x - e), d,e ɛ R

Assinale a(s) alternativa(s) correta(s).

01) f é uma função crescente.   

02) Os números d e e são os zeros da função h.   

04) Se d < 0 e e < 0, então o gráfico da função h é uma parábola cuja concavidade é voltada para baixo.   

08) Se a = 1 e b = 0, então gof(x) = g(x).   

16) Se a ǂ 0 e b ǂ 0, então a função f é invertível e sua inversa é dada por

      f^-1(x) = 1/(ax + b).   

  

Resposta da questão 2: 02 + 08 = 10.

[01] Falsa. f será crescente apenas se a >0.

[02] Verdadeira, pois x – d = 0 → x = d  e x – e = 0 → x = e.

[04] Falsa. Mesmo que d e e sejam negativos o coeficiente de x² será positivo. Portanto, o gráfico será uma parábola com concavidade para cima.

[08] Verdadeira. Se a = 1 e b = 0, temos f(x) = x e g(f(x)) = g(x).

[16] Falsa. f(x) = ax + b → x = a.f^-1(x) + b → f^-1(x) = (x - b)/a  

3. (Uem-pas 2017)  Considerando o sistema linear S : ax + by = c (eq. I) e dx + ey = f (eq. II) com a, b, c, d, e, f ɛ R assinale a(s) alternativa(s) correta(s).

01) Se c = f = 0, então o sistema S não admite solução para quaisquer valores de a, b, d, e.   

02) Se o determinante dos coeficientes é nulo então o sistema S é impossível.   

04) Se S for um sistema possível e determinado, então as retas r e s, que representam as equações I e II, respectivamente, interceptam-se num único ponto.   

08) Se o sistema S for equivalente ao sistema x + y = 2 e y = - 2, então S tem solução única dada pelo par ordenado(4, - 2).   

16) Se a = d e b = e, então o determinante da matriz dos coeficientes do sistema S é nulo.   

Resposta da questão 3: 04 + 08 + 16 = 28.

[01] Falsa. Se c = f = 0 o sistema nunca será impossível, pois admitirá a solução trivial (0,0)

[02] Falsa. Se o determinante dos coeficientes é nulo, o sistema poderá ser impossível ou possível e indeterminado.

[04] Verdadeira. O sistema terá solução única que geometricamente indicará o ponto de intersecção das retas.

[08] Verdadeira. Sistemas equivalentes possuem a mesma solução:

        Como y = - 2, temos: x + (-2) = 2 → x = 4. Logo, a solução será: {(4,2)}

[16] Verdadeira. O determinante da matriz dos coeficientes do sistema S é nulo → a.e – b.d = 0

  

4. (Uem-pas 2017)  Um estojo de um estudante tem 7 canetas, das quais 3 são azuis, 2 são vermelhas e 2 são pretas. Se o estudante retirar do estojo, ao acaso, 2 destas canetas sucessivamente e sem reposição, é correto afirmar que a probabilidade de :

01) sair a primeira caneta vermelha e depois sair a azul é 2/7.   

02) sair uma caneta de cada cor é 2/3.   

04) saírem duas canetas da mesma cor é 1/3   

08) sair a segunda caneta preta é 5/21   

16) sair a primeira caneta azul e sair a segunda vermelha é 1/7   

  

Resposta da questão 4: 16.

[01] Falsa, pois 2/7 . 3/6 = 1/7.

[02] Falsa. Calculando inicialmente a probabilidade se sair duas canetas   iguais.

(2 azuis): 3/7 . 2/6 = 6/42

(2 vermelhas): 2/7 . 1/6 = 2/42

(2 pretas): 2/7 . 1/6 = 2/42

Portanto, a probabilidade de sair uma caneta de cada cor é:

1 - 6/42 - 2/42 - 2/42 = 1 - 10/42 = 32/42 = 16/21

[04] Falsa. Calculada no item anterior 6/42 +  2/42 + 2/42 = 5/21

[08] Falsa.

Azul e Preta: 3/7. 2/6 = 6/42

Vermelha e Preta: 2/7 . 2/6 = 4/42

Preta e Preta: 2/7 . 1/6 = 2/42

P = 6/42 + 4/42 + 2/42 = 12/42 = 2/7

[16] Verdadeira, pois 3/7 . 2/6 = 6/42 = 1/7  

5. (Uem-pas 2017)  Um quadrilátero se diz inscritível em um círculo C se todos os seus vértices estão sobre a circunferência que determina C, e neste caso diz-se que o quadrilátero é inscrito em C. Considere um quadrilátero ABDE inscrito em um círculo, que é determinado por uma circunferência C', e sejam A, B, D e E seus ângulos internos.

Então é correto afirmar que:

01) Os lados do ângulo A determinam um arco na circunferência C’ cuja medida é o dobro da medida do ângulo A.   

02) As diagonais AD e BE do quadrilátero são perpendiculares.    

04) As diagonais AD e BE se cortam nos seus respectivos pontos médios.   

08) Pelo menos dois dos ângulos internos opostos devem ser retos.   

16) Os ângulos BAD e BED são congruentes.   

  

Resposta da questão 5: 01 + 16 = 17.

[01] Verdadeira. Todo ângulo inscrito numa circunferência mede a metade do arco que ele determina na circunferência.

[02] Falsa. Todo retângulo, não quadrado, é um quadrilátero inscritível e não possui diagonais perpendiculares.

[04] Falsa. Se considerarmos uma diagonal coincidindo com o diâmetro e a outra intersectando o diâmetro em um ponto diferente do seu centro, termos um quadrilátero inscritível cujas diagonais não se cortam nos seus respectivos pontos médios.

[08] Falsa. Podemos imaginar um quadrilátero com dois pares de ângulos opostos medindo 120⁰ e 60⁰

[16] Verdadeira. Todo ângulo inscrito numa circunferência mede a metade do arco que ele determina na circunferência.  

6. (Uem-pas 2017)  Considerando z₁ = (1 - ai)(a + 2i) e z₂= (a + i), dois números complexos com a ɛ R assinale o que for correto.

01) Qualquer que seja a ɛ R, z₁ não é um número real.   

02) A parte imaginária do número z = z₁.z₂ é um polinômio na variável a de grau 3.   

04) z₂^-1. z₂^* = 1, onde z₂^* é o conjugado de z_2.   

08) Se a = 0,  então (z₁)¹⁸ é um número positivo.   

16) Se z₂ for um número imaginário puro, então as raízes quadradas de z₂ são (1 + i)√2/2 e - (1 + i)√2/2    

  

Resposta da questão 6: 02 + 16 = 18.

Sendo, z₁ = (1 - ai)(a + 2i) = a + 2i – a²i – 2ai² → z₁ = 3a + (2 – a²)i

e z₂= (a + i),

[01] Falsa. Se a = ± √2, z₁  será um número real.

[02] Verdadeira.→ z₁.z₂ = [3a + (2 – a²)i] . (a + i) =

= 3a² + 3ai + (2a – a³)i + (2 – a²)i² = (4a² - 2) + (5a – a³)i

[04] Falsa, pois (a - 1)/(a + 1) ǂ 1

[08] Falsa, pois (2i)¹⁸ = 2¹⁸. i¹⁸ = - 2¹⁸ < 0.

[16] Verdadeira, pois z₂ = i e [±√2(1 + i)/2]² = 2(1 + 2i + i²)/4 = i

7. (Uem-pas 2017)  Dado o polinômio P(x) = 2x³ – 17x² + 41x – 30, assinale o que for correto:

01) O polinômio P(x) é divisível por (2x - 3) e por (x - 2), portanto P(x) é divisível por (2x - 3).(x - 2).   

02) O polinômio P(x) é divisível por (2x - 3)  e por (4x - 6),  portanto P(x) é divisível por (2x - 3).(4x - 6).   

04) O quociente do polinômio P(x) por (2x - 3)  tem x = 2 e x = 5 como raízes.    

08) O quociente do polinômio P(x) por (x - 5)  é 2x² – 7x + 6.   

16) O polinômio P(x) tem duas raízes complexas conjugadas e uma raiz real.    

  

Resposta da questão 7: 01 + 04 + 08 = 13.

Sabemos que 2 é raiz de P(x), pois P(2) = 0

Fatorando o polinômio, obtemos:   2  |  2    - 17     41     - 30   

                                                                |  2    - 13     15        0

Portanto, P(x) = (x - 2).(2x² – 13x + 15)

Fatorando agora a expressão 2x² – 13x + 15, obtemos: 2(x - 3/2).(x - 5)

Portanto P(x) = (x - 2).(2x² – 13x + 15) = 2(x - 3/2).(x - 5).(x - 2)

[01] Verdadeira.

[02] Falsa.

[04] Verdadeira.

[08] Verdadeira, pois (2x - 3).(x - 2) = 2x² – 7x + 6

[16] Falsa, pois as três raízes são reais.  

8. (Uem-pas 2017)  Considerando a equação polinomial, com coeficientes reais, P(x) = 0, assinale o que for correto.

01) Se P(x) for um polinômio de grau  e Q(x)  for um polinômio de grau 2, então o grau da equação polinomial P(x) . Q(x) = 0  é 6.   

02) Se P(x) = (x + 5).(x² + 4), então as raízes de P(x) são x = 5, x = 2 e x = -2.   

04) Se a equação P(x)  = 0 possui somente uma raiz real e duas raízes complexas, então dizemos que P(x)  é um polinômio de grau 3.   

08) Se a equação P(x)  = 0 possui duas raízes reais e iguais, então esta equação tem grau maior que 2 ou igual a 2.   

16) Se P(x)  é divisível por (x - i) então a equação P(x)  = 0 possui pelo menos duas raízes complexas.   

  

Resposta da questão 8: 04 + 08 + 16 = 28.

[01] Falsa, o grau do polinômio P(x).Q(x) será 3 + 2 = 5.

[02] Falsa, as raízes serão – 5, - 2i e 2i.

[04] Verdadeira. Um polinômio que possui somente uma raiz real e duas raízes complexas não reais é de terceiro grau.

[08] Verdadeira. Uma equação de grau n possui n raízes complexas, se a equação possui duas raízes reais e iguais, então ela tem no mínimo grau 2.

[16] Verdadeira. Se i é raiz de P(x), então - i também será raiz, considerando o teorema das raízes complexas.  

9. (Uem-pas 2017)  Sabendo-se que sen x = -3/4 e que cos x > 0, é correto afirmar que :

01) x é um número real tal que 3π/2 + 2kπ < x < 2(k + 1)π   

02) cos²x = 7/8.   

04) tg x = - 3√7/7.   

08) cos 2x = - 1/8.   

16) sen(180⁰ - x) < 0.   

Resposta da questão 9: 01 + 04 + 08 + 16 = 29.

[01] Verdadeira. Arcos com extremidades no quarto quadrante.

[02] Falsa, pois cos²x = 1 - (-3/4)² = 7/16.

[04] Verdadeira, pois tg x = (-3/4)/(√7/16) = - 3√7/7

[08] Verdadeira, pois cos 2x = cos²x – sen²x = 7/16 - 9/16 = -2/16 = -1/8

[16] Verdadeira, pois sen(180⁰ - x) = senx = -3/4  

10. (Uem-pas 2017)  Em um prisma quadrangular regular, cuja altura mede o dobro dos lados da base, inscrevem-se duas pirâmides regulares com cada base coincidindo com uma das bases do prisma, e com altura igual à metade da altura do prisma.

Então, é correto afirmar que:

01) As faces laterais do prisma são paralelas às faces laterais das pirâmides.   

02) As arestas laterais da pirâmide são maiores que a altura do prisma.    

04) Os vértices das pirâmides coincidem em um ponto equidistante das bases do prisma.    

08) A soma dos volumes das pirâmides é igual a 2/3 do volume do prisma.   

16) O complementar das pirâmides no prisma é constituído por quatro pirâmides, cujas bases são retângulos.   

  

Resposta da questão 10: 04 + 16 = 20.

De acordo com as informações do problema, temos a seguinte figura:

                         

[01] Falsa. As faces laterais do prisma e da pirâmide se encontram em uma das arestas da base da  figura.

[02] Falsa. Admitindo x a medida da aresta lateral da pirâmide e o triângulo AOV na figura acima, temos:

      x² = AO² + VO² → x² = (a√2/2)² + a² → x = √6a²/4 → x = a√6/2 < 2a

[04] Verdadeira, pois h = 2a

[08] Falsa, pois a soma dos volumes das pirâmides será dada por:

2 . 1/3 . a² . a = 1/3 . a² . 2a  (um terço do volume do prisma)

[16] Verdadeira. Retirando-se as pirâmides citadas no problema, obtemos quatro pirâmides cujas bases são as faces laterais do prisma.  

11. (Uem-pas 2017)  Considere um plano α que contém o eixo de um cilindro circular reto, cujo raio mede 2 cm e a altura, 4 cm. Então, é correto afirmar que:

01) A interseção do cilindro com α é um quadrado, cujo lado mede 4 cm.   

02) O plano α divide o cilindro em dois sólidos, e o volume de cada um é 16π cm³.   

04) O plano α divide o cilindro em dois sólidos, e a área lateral de cada um é 8π cm².   

08) A reta que contém o eixo do cilindro está inteiramente contida no plano.   

16) Qualquer reta perpendicular ao plano α é paralela aos planos que contêm as bases do cilindro, ou está contida em um deles.    

  

Resposta da questão 11: 01 + 08 + 16 = 25.

De acordo com o problema, temos a seguinte figura:

                               

[01] Verdadeira, pois a altura do cilindro é o dobro do raio, portanto a secção meridiana é um quadrado.

[02] Falsa. Calculando o volume do semicilindro obtemos:

V = π.2².4/2 = 8π cm³

[04] Falsa. Calculando a área lateral do semicilindro obtemos:

A = 2.π.2.4/2 + 4.4 = 8π + 16

Observação: Este item foi considerado verdadeiro pelo gabarito oficial, mas a secção meridiana também faz parte da superfície lateral do semicilindro. O que torna a afirmação falsa.

 

[08] Verdadeira. Como os centros das bases pertencem ao plano α, o eixo do cilindro , que passa pelos centros das base, está contido no plano α.

[16] Verdadeira. Uma reta perpendicular ao plano α forma um ângulo de 90⁰ com o eixo e do cilindro e com os diâmetros dos cilindro que pertencem ao plano α portanto é paralela ou esta contida em um dos planos da base.  

12. (Uem-pas 2017)  Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonal no plano, considere três pontos: A(1, 3); B(5, 3) e C(3, 0). Então, é correto afirmar que:

01) A reta que passa pelos pontos A e B tem como equação x = 3.   

02) A altura do triângulo ABC em relação ao vértice C, mede√13.   

04) A reta que passa pelos pontos A e C tem coeficiente angular igual -3/2.   

08) A área do triângulo ABC é 6.   

16) O triângulo ABC é equilátero.   

Resposta da questão 12: 04 + 08 = 12.

Construindo o triângulo ABC, temos:

[01] Falsa. A reta que passa pelos pontos A e B tem equação y = 3.

[02] Falsa. A altura mede relativa ao vértice C mede 3.

[04] Verdadeira. Calculando o coeficiente angular da reta que passa pelos     pontos A e B, temos: m = (0 - 3)/(3 - 1) = - 3/2

[08] Verdadeira. Calculando a área do triângulo ABC obtemos:

       A = (5 - 1).3/2 = 4.3/2 = 6

[16] Falsa, pois AB = 5 – 1 = 4 e AC² = 3² + 2² → AC = √13.