QUESTÕES VESTIBULAR UNESP 2018 - TIPO ANALÍTICA - COMENTADAS

1. (Unesp 2018)  Uma rampa, com a forma de prisma reto, possui triângulos retângulos ADE e BCF nas bases do prisma, e retângulos nas demais faces. Sabe-se que AB = 20m, BC = 15 m  e CF = 5 m. Sobre a face ABFE da rampa estão marcados os caminhos retilíneos AE, AG  e AF, com G sendo um ponto de EF, como mostra a figura.

                    

a) Calcule a medida do segmento AE. Em seguida, assuma que a inclinação de subida (razão entre vertical e horizontal) pelo caminho AG seja igual a 1/4 e calcule a medida do segmento EG.

b) Considere os seguintes dados para responder a este item:

α	7,10	11,30	14,00	18,40
tgα	0,125	0,200	0,250	0,333

Comparando-se o caminho AF com o caminho AE, nota-se que o ângulo de inclinação de AF e de AE, em relação ao plano que contém o retângulo ABCD, aumentou. Calcule a diferença aproximada, em graus, desses ângulos.

  

a) Pelo Teorema de Pitágoras, segue que

    AE² = AD² + DE² → AE² = 5² + 15² → AE = 5√10 m

    G' a projeção ortogonal de G sobre a face ABCD. Daí, temos

    tg G'AG = G'G/AG' → 1/4 = 5/AG' → AG' = 20 m

    Logo, pelo Teorema de Pitágoras, encontramos

                                     

    (DG')² = (AG')² – AD² → (DG')² = 20² – 15² → DG' = 5√7 m

    Portanto, vem EG = DG' = 5√7 m.

b) Pelo Teorema de Pitágoras, vem

    AC² = AB² + BC² → AC² = 20² + 15² → AC = 25 m.

   

    Logo, a tangente do ângulo de inclinação de AF é 5/25 = 0,2, o que, pela

    tabela, implica num ângulo aproximado de 11,3⁰. Ademais, a tangente

   do ângulo de inclinação de AE é 5/15 = 0,333 ..., o que implica em um

   ângulo de aproximadamente 18,4⁰.

   Portanto a resposta é 18,4⁰ – 11,3⁰ = 7,1⁰.

2. (Unesp 2018)  O gráfico representa uma hipérbole, dada pela função real f(x) = x + 3/(2-x). Sabe-se que ABCD é um retângulo, que EC é diagonal do retângulo EBCF e que a área da região indicada em rosa é igual a 4,7 cm².

                             

a) Determine as coordenadas (x, y) do ponto A.

b) Calcule a área da região indicada em amarelo no gráfico.

  

 a) Desde que a abscissa do ponto A corresponde a um dos zeros de f.

        temos x + 3(2-x) = 0 → x² – 2x – 3 = 0 → x' = - 1 ou x'' = 3.

        Logo, como o ponto A se encontra no semieixo negativo das

        abscissas, vem A = (- 1, 0). 

    b) Observando que C e D possuem a mesma abscissa, encontramos

        4 = x + 3/(2-x) → x² - 6x + 5 = 0 →x' = 1 ou x'' = 5.

        Assim, temos x_C = 5 e, portanto, se G é o centro do retângulo ABCD,

        então G = ((x_A+x_C)/2, (y_A+y_C)/2) = ((-1+5)/2, (0+4)/2) = (2, 2)

        Portanto, como o ponto de encontro das assíntotas é o centro da

        hipérbole, segue que x_E = x_G = 2.

     Finalmente, como a hipérbole é simétrica em relação a G, podemos

     concluir que a área pedida é dada por (EBC) – 4,7 = 3.4/2 – 4,7 =

    1,3  cm².

  

3. (Unesp 2018)  Observe o infográfico, publicado recentemente em um jornal digital.

             

a) Admitindo-se que o total de dinheiro apostado em determinado concurso da Mega-Sena tenha sido 15 milhões de reais, calcule quanto desse dinheiro, em reais, foi destinado ao esporte brasileiro (comitês olímpico e paraolímpico, juntos).

b) Admita que o comprimento da barra do gráfico correspondente às “Despesas de custo” tenha 13,28 unidades de comprimento (13,28u). Para que a proposta do infográfico esteja matematicamente correta, calcule a medida indicada no infográfico por x, em unidades u de comprimento.

a) O resultado é dado por 15000000 . 0,027 = R$ 405.000,00

b) É fácil ver que as barras têm o mesmo comprimento. Logo, sabendo

    que 20% corresponde a 13,28 unidades de comprimento, então cada

    barra deverá medir (100%/20%) . 13,28 = 66,4 u.

    Portanto, para que a proposta do infográfico esteja matematicamente

    correta, deve-se ter

    x = 66,4 .(7,76% + 3,14%)/(7,76% + 3,14% + 3% + 1,7% + 1%) = 43,6 u.