QUESTÕES VESTIBULAR UNICAMP 2018 – COMENTADAS

1. (Unicamp 2018)  A figura a seguir exibe o gráfico de uma função y = f(x) para 0 ≤ x ≤ 3.

                         

O gráfico de y = [f(x)]²  é dado por :

       

  

Resposta da questão 1: [C]

Seja h(x) = - │x│, com 0 ≤ x ≤ 3. O gráfico da função g, cuja lei é

g(x) = - │x -1│, para 0 ≤ x ≤ 3, corresponde ao gráfico de h deslocado de

uma unidade no sentido positivo do eixo das abscissas.

Assim, o gráfico de f corresponde ao gráfico da função g, deslocado de

uma unidade no sentido positivo do eixo das ordenadas e, portanto,

temos f(x) = - │x -1│ + 1, com 0 ≤ x ≤ 3.

Finalmente, sendo y = [f(x)]² = (-│x - 1│+ 1)² = │x - 1│² - 2│x - 1│+ 1 →

y = (x - 2)², se x ≥ 1  e  y = x², se x < 1 podemos afirmar que o gráfico de

y = [f(x)]², para 0 ≤ x ≤ 3 é o da alternativa [C].  

2. (Unicamp 2018)  Seja a função h(x) definida para todo número real x por

               h(x) = 2^{x + 1} se x ≤ 1 e h(x) = √(x - 1) se x > 1

Então, h(h(h(0))) é igual a :

a) 0   

b) 2   

c) 4   

d) 8   

  

Resposta da questão 2:[C]

Desde que h(0) = 2¹ = 2 temos, h(2) = √(2 - 1) = 1 e, portanto, vem

h(1) = 2^{1 – 1} = 4 → h(h(h(0))) = 4 .

3. (Unicamp 2018)  Dois anos atrás certo carro valia R$ 50000,00 e atualmente vale R$ 32000,00. Supondo que o valor do carro decresça a uma taxa anual constante, daqui a um ano o valor do carro será igual a :

a) R$ 25600,00   

b) R$ 24400,00   

c) R$ 23000,00   

d) R$ 18000,00   

  

Resposta da questão 3: [A]

Seja q a taxa de decrescimento, então 32000 = 50000.q² →

q² = 16/25 → q = 4/5. Portanto 32000.4/5 = R$ 25600,00  

4. (Unicamp 2018)  Sejam a e b números reais tais que a matriz A(2x2) tal que a₁₁ = a₂₂ = 1, a₁₂ = 2 e a₂₁ = 0 satisfaz a equação A² = aA + bI, em que I é a matriz identidade de ordem 2. Logo, o produto ab é igual a :

a) -2   

b) -1   

c) 1   

d) 2   

 Resposta da questão 4: [A]

                 

Portanto a.b = 2.(-1) = - 2.

5. (Unicamp 2018)  Lançando-se determinada moeda tendenciosa, a probabilidade de sair cara é o dobro da probabilidade de sair coroa. Em dois lançamentos dessa moeda, a probabilidade de sair o mesmo resultado é igual a :

a) 1/2   

b) 5/9   

c) 2/3   

d) 3/5   

Resposta da questão 5:[B]

Se "c" denota cara e "k" denota coroa, então P(c) = 2P(k).

 Portanto P(c) + P(k) = 1 → 2P(k) + P(k) = 1 → P(k) = 1/3

Logo, vem P(c) = 2/3 e, portanto, a probabilidade pedida é igual a

1/3 . 1/3 + 2/3 . 2/3 = 5/9

  

6. (Unicamp 2018)  Considere três números inteiros cuja soma é um número ímpar. Entre esses três números, a quantidade de números ímpares é igual a :

a) 0 ou 1.   

b) 1 ou 2   

c) 2 ou 3   

d) 1 ou 3   

  

Resposta da questão 6:[D]

Sabendo que a soma de dois números inteiros é ímpar se suas paridades são distintas, a soma de três números inteiros será um número ímpar apenas se tivermos dois pares e um ímpar ou três ímpares.  

7. (Unicamp 2018)  A figura abaixo exibe um setor circular dividido em duas regiões de mesma área. A razão a/b é igual a :

                                  

a) √3 + 1   

b) √2 + 1   

c) √3   

d) √2   

  

Resposta da questão 7:[B]

Se as áreas são iguais e o ângulo central é ɵ então          

(a + b)².ɵ/2 – a².ɵ/2 = a².ɵ/2 → (a + b)² – 2a² = 0 →

(a + b - √2 a).(a + b + √2 a) = 0 → a(√2 - 1) = b → a/b = √2 + 1

8. (Unicamp 2018)  Seja x um número real tal que senx + cosx = 0,2. Logo, │senx - cosx│é igual a :

a) 0,5   

b) 0,8   

c) 1,1   

d) 1,4   

  

Resposta da questão 8:[D]

Tem-se que (senx + cosx)² = 0,2² → 1 + 2senxcosx = 0,04 →

2senxcosx = - 0,96 .

Logo, sabendo que │y│² = y², para todo y ϵ R, vem

│senx - cosx│²  = (senx – cosx)²  = 1 – 2senxcosx

Em consequência, encontramos │senx - cosx│²  = 1 + 0,96 = 1,96,

│senx - cosx│²  = √1,96 = 1,4

9. (Unicamp 2018)  Considere que o quadrado ABCD representado na figura abaixo, tem lados de comprimento de 1 cm, e que C é o ponto médio do segmento AE. Consequentemente, a distância entre os pontos D e E será igual a :

                           

a) √3 cm   

b) 2 cm   

c) √5 cm   

d) √6 cm   

Resposta da questão 9: [C]

Se o lado do quadrado ABCD mede 1 cm, então sua diagonal mede √2 cm.

Daí, como C é ponto médio de AE, vem CE  = √2 cm.

Como ACD = 45⁰ temos DCE = 135⁰ e, portanto, pela Lei dos Cossenos,

Encontramos DE² = 1² + (√2)² – 2.1.√2.cos135⁰ → DE² = 5 → DE = √5 cm.

  

10. (Unicamp 2018)  Sabendo que k é um número real, considere o sistema linear nas variáveis reais x e y,

                   X + KY = 1  e  X + Y = K

É correto afirmar que esse sistema :

a) tem solução para todo k.   

b) não tem solução única para nenhum k.   

c) não tem solução se k = 1.   

d) tem infinitas soluções se k ≠ 1.   

  

Resposta da questão 10: [A]

O sistema possui solução única se, e somente se, 1/1 ≠ k/1 → k ≠ 1.

Por outro lado, se k = 1 as equações do sistema serão idênticas e,

portanto, o sistema terá mais de uma solução.

Em consequência, o sistema tem solução para todo k.  

11. (Unicamp 2018)  No plano cartesiano, sejam C a circunferência de centro na origem e raio  r > 0 e s a reta de equação  x + 3y = 10. A reta s intercepta a circunferência C em dois pontos distintos se e somente se :

a) r > 2.   

b) r > √5   

c) r > 3   

d) r >√10   

  

Resposta da questão 11: [D]

A reta s intersecta a circunferência C em dois pontos distintos se, e

somente se, a distância da origem à reta x + 3y – 10 = 0 for menor do que

r, isto é,  |0 + 3.0 - 10|/√(1² + 3²) < r → r > √10

  

12. (Unicamp 2018)  Sejam a e b números reais não nulos. Se o número complexo z = a + bi é uma raiz da equação quadrática x² + bx + a = 0, então :

a) |z| = 1/√3   

b) |z| = 1/√5   

c) |z| = √3   

d) |z| = √5   

Resposta da questão 12:[B]

Se z = a  bi é raiz, então seu conjugado z' = a - bi também é raiz. Logo,  

pelas Relações de Girard, temos:

a + bi + a – bi = - b/1  → b = - 2a (eq. I)

(a +  bi)(a - bi) = a/1 → a² – a + b² = 0 (eq. II)

Substituindo eq. I em eq. II, vem :

a² – a + (- 2a)² = 0 → a² – a + 4a² = 0 → 5a² – a = 0 → a = 1/5 e b = - 2/5

Portanto, segue que |z| = √[(1/5)² + (-2/5)²] = 1/√5

  

13. (Unicamp 2018)  Sejam p(x) e q(x) polinômios com coeficientes reais. Dividindo-se p(x) por q(x) obtêm-se quociente e resto iguais a x² + 1. Nessas condições, é correto afirmar que :

a) o grau de p(x) é menor que 5.   

b) o grau de q(x) é menor que 3.   

c) p(x) tem raízes complexas.   

d) q(x) tem raízes reais.   

Resposta da questão 13 :[C]

Tem-se que p(x) =  q(x).(x² + 1) + x²  + 1 = (x² + 1)(q(x) + 1)

Logo, nada se pode afirmar sobre as raízes de q, o grau de q é maior do

que 2 (basta observar o grau do resto) e, portanto, sendo o grau do

quociente igual a 2, vem que o grau de p é maior do que ou igual a 5.     

Finalmente, desde que x² + 1 = 0 possui raízes complexas, podemos

afirmar que p possui raízes complexas.