QUESTOES VESTIBULAR UNEB MEDICINA 2016 – COMENTADAS.

1.Em uma turma de amigos, quaisquer dois rapazes nasceram em dias da semana diferentes e quaisquer duas moças nasceram em meses diferentes. Sabe-se que se mais uma pessoa  for integrada a esta turma, uma das duas condições anteriores deixará de se verificar. Assim sendo, é correto afirmar que o número de amigos existentes nessa turma é igual a :

01) 18

•02) 19

03) 20

04) 24

05) 25

Vejamos :

... quaisquer dois rapazes nasceram em dias da semana diferentes → 7 possibilidades.

.... quaisquer duas moças nasceram em meses diferentes → 12 possibilidades.

Entao : 7 + 12 = 19 amigos(possibilidades)

2.    

                                                                 Dia 1       Dia 2       Dia 3       Dia 4

Quantidade de pessoas presentes :       56            62            48            74

De um grupo de agentes comunitários de saúde recrutados para participar de um seminário de atualização realizado ao longo de quatro dias, cada pessoa deixou de comparecer em exatamente dois dias. Nessas condições e com base na frequência diária dos participantes, apresentada na tabela , pode-se afirmar que o número de pessoas que não compareceram no quarto dia foi igual a :

01) 25

02) 26

03) 32

•04) 46

05) 48

Vejamos :

Pessoas presentes : 56 + 62 + 48 + 74 = 240

... cada pessoa deixou de comparecer em exatamente dois dias → de 4 dias implica na metade de 240, portanto 120.

Como no 4⁰ dia compareceram 74, então a quantidade de pessoa que não compareceram equivale a 120 – 74 = 46

3. Com a crise financeira, determinado investimento sofreu uma queda de 10%, enquanto  o dólar, no mesmo período, valorizou-se 15%. Uma pessoa que, com essa queda, teve o saldo de seu investimento reduzido para R$18000,00, se tivesse resgatado o seu capital antes da crise e o tivesse aplicado na compra de dólares, teria um acréscimo nesse capital, em reais, igual a :

01) 2600

02) 2800

•03) 3000

04) 3200

05) 3400

Capital = C

Prejuizo de 10% → C – 10% de C = 0,9C → 0,9C = 18000 → C= R$20000,00

Dolar, aumento de 15% → 20000 + 15% de 20000 = R$23000,00

Acrescimo de R$3000,00

4.De um livro com 20 páginas, todas numeradas, retira-se uma folha. Sabendo-se que  a soma dos números das paginas restantes do livro é 171, pode-se afirmar corretamente que  a folha retirada foi a :

01) décima nona.

02) décima quarta.

03) décima segunda.

•04) décima.

05) nona.

                                                                                                                                             

Livro de 20 paginas :

1, 2, 3, ..., 20 , uma PA de razão 1, S₂₀ = (a₁ + a₂₀).n/2 = (1+20).20/2 = 210

Uma folha apresenta duas paginas :

S₁₈ = S₂₀ - (x + x + 1) = 171→ 210 – 2x – 1 = 171→ 210 – 1 – 171 = 2x

2x = 210 – 172 → 2x = 38 →x = 19

Entao as paginas retiradas foram 19 e 20, ou seja a decima folha

5.Ao receber o caderno de provas de um concurso, um candidato verificou que as questões foram precedidas pelas seguintes informações: • As questões da prova estão distribuídas em duas partes P1 e P2.

 • O tempo para resolver cada questão da parte P1 é de 15 minutos e para resolver cada questão da parte P2 é de 25 minutos.

 • Devem ser resolvidas exatamente 10 questões, sendo, pelo menos, duas delas da parte P1 e, pelo menos, três da parte P2.

Observando-se tais informações, se o candidato não excedeu 3 horas para resolver as dez questões, pode-se afirmar que ele resolveu exatamente :

01) duas questões de P1

02) três questões de P1

03) quatro questões de P2

04) seis questões de P2

•05) sete questões de P1 

Vejamos:

P₁ → x questões a 15 minutos cada.

P₂ → y questões a 25 minutos cada.

... Devem ser resolvidas exatamente 10 questões ( x + y = 10 ), sendo, pelo menos, duas delas da parte P1 e, pelo menos, três da parte P2.

( 2 + a ) . 15 + ( 3 + b ) . 25 = 3 horas

( 2 + a ) . 15 + ( 3 + b ) . 25 = 180 mintos

Agora observando as alternativas, concluímos que a respostas correta e a de numero 5. Veja porque,

05) sete questões de P1

( 2 + 5 ) . 15 + ( 3 + 0 ) . 25 = 180 → 7 . 15 + 3 . 75 = 180

6. A distribuição de cinco bolas de cores distintas entre duas pessoas de modo que cada pessoa receba, pelo menos, uma bola pode ser feito em um número máximo, de formas distintas,  igual a :

01) 25

•02) 30

03) 35

04) 45

05) 50

 Vejamos : Como as cinco bolas poderao ir para qualquer uma das 2 pessoas, então existem 2⁵ = 32 possibilidades . Porem desta maneira poderá ocorrer de a primeira ou a segunda pessoa ficar com todas as bolas. Portanto, retirando estas duas ocorrências, ficaremos com 32 – 2 = 30 possibilidades

    

7. Os dados na sequência (1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6)  correspondem às respostas obtidas quando dez pessoas foram indagadas sobre o número de livros que haviam lido no último semestre de 2015. Sendo x, y e z, respectivamente, a média aritmética, a mediana e a moda desses dados, pode-se afirmar que :

01) x ≤ y ≤ z

02) y ≤ x ≤ z

03) y ≤ z ≤ x

04) z ≤ x ≤ y

•05) z ≤ y ≤ x

média aritmética → x = (1.2 + 2.3 + 3 + 4.2 + 5 + 6) ÷ 10 = 30 ÷ 10 = 3

mediana → 1, 1, 2, 2, *2, 3*, 4, 4, 5, 6 → y = (2 + 3)/2 = 2,5

moda → z = 2

8. Das pessoas que procuraram atendimento em um posto de saúde certo dia, constatou-se que 60%  eram mulheres, 60% tinham mais de 18 anos e 85% eram mulheres ou tinham mais de 18 anos. Escolhendo-se, ao acaso, a ficha de um desses pacientes, a probabilidade de ele ser um homem, se tiver mais de 18 anos, é igual a :

01) 1/4

02) 8/25

03) 2/5

04) 9/10

•05) 5/12

Vamos admitir que : x represente as mulheres com mais de 18 anos.

                                   y represente as mulheres com menos de 18 anos.

                                   z  represente os homens com mais de 18 anos.

                                   w  represente os homens com menos de 18 anos.

... 60%  eram mulheres → x + y = 60 (I)

 ... 60% tinham mais de 18 anos → x + z = 60 (II)

 ... 85% eram mulheres ou tinham mais de 18 anos → x + y + z = 85 (III)

Substituindo II em III, obtemos y = 25 , x = 35 e z = 25

  ... Escolhendo-se, ao acaso, a ficha de um desses pacientes, a probabilidade de ele ser um homem, se tiver mais de 18 anos →

P =  z / (x+z) = 25/60 = 5/12

9.

 

A nota final de um concurso composto por duas provas é calculada através da média ponderada entre as pontuações, x e y, obtidas na primeira e na segunda provas, respectivamente.

Sabendo-se que a nota final mínima para aprovação é 6,0 e que a área sombreada na figura cobre apenas os pontos (x, y) correspondentes à pontuação que garante a aprovação do candidato que a obteve, pode-se afirmar que os pesos das provas são, respectivamente, iguais a :

 01) 2 e 4

•02) 3 e 4

03) 2 e 5

04) 3 e 7

05) 4 e 6

O valor limite para aprovação é o ponto (10,3)

Média ponderada : (x.a + y.b)/(a+b) = 6, onde a e b sao os pesos de x e y, nesta ordem, então

(10a + 3b) / (a + b) = 6 → 10a + 3b = 6a + 6b → 4a = 3b → a/b = 3/4

10.               x        -5          -3          -1          1   

                  P(x)      0           4          -4           0

Os dados na tabela se referem a um polinômio P(x), de grau 3, cuja soma das raízes é igual a :

•01) − 6

02) − 4

03) − 2

04) 0

05) 2

Vejamos → ... polinômio P(x), de grau 3 → P(x) = ax³ + bx² + cx + d

P(-5) = 0 → a (-5)³ + b(-5)² + c(-5)+ d = 0 → -125a + 25b - 5c + d = 0 (I)

P(-3) = 4 → a (-3)³ + b(-3)² + c(-3)+ d = 4 → -27a + 9b - 3c + d = 4 (II)

P(-1) = -4 → a (-1)³ + b(-1)² + c(-1)+ d = -4 → - a + b - c + d = - 4 (III)

P(1) = 0 → a (1)³ + b(1)² + c(1)+ d = 0 → a + b + c + d = 0 (IV)

Somando III com IV, vem: 2b + 2d = -4 → b + d = - 2 (V)

Substituindo V em IV, vem : a + c = 2

Substituindo d = - 2 – b  e c = 2 – a em I e II vem ,

(Em I) : -125a + 25b - 5(2-a) + (-2-b) = 0 → -125a + 25b – 10 +5a -2 –b = 0 →

-120a + 24b – 12 = 0(÷12) → -10a + 2b = 1 (VI).

(Em II) : -27a + 9b - 3(2-a) + (-2-b) = 4 → - 27a + 9b – 6 + 3a – 2 – b= 4 →

- 24a + 8b = 12(÷4) → - 6a  + 2b = 3(VII)

Resolvendo o sistema com VI e VII obtemos a = 1/2 e b = 3

Segundo a relação de Girard, a soma das raízes e -b/a = - 3 / ½ = - 6

11. Segundo uma pesquisa, após t meses da constatação da existência de uma epidemia, o número de pessoas, por ela atingidas, é obtido por

                                  N(t) = 10000 /(1+8.4^-2t).

Considerando-se que o mês tenha 30 dias, log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, pode-se estimar que 2500 pessoas  serão atingidas por essa epidemia em, aproximadamente,

•01) dez dias.

02) vinte e seis dias.

03) três meses.

04) dez meses.

05) um ano.

Vejamos, N(t) = 10000 /(1+8.4^-2t) → 2500 = 10000 /(1+8.4^-2t) → 4 = 1+8.4^-2t

8.4^-2t = 3 → 4^-2t = 3/8 → log 4^-2t = log 3/8 → - 2t .log4 = log3 – log8 →

- 4t. log2 = log3 – 3log2 → -4t = (log3-3log2)/log2 → -4t = (0,48-3.0,3)/0,3

- 4t = - 0,42/0,3 →- 4t = - 1,4 → t = 1,4 / 4 → t = 0,35 meses → t = 10,5 dias

12. Admitindo-se que o peso de determinada pessoa, ao longo de uma ano,  possa ser modelado pela função P(t) = 65 − 5cos[(t+3)π/6] , em que   t = 1,...,12  corresponde aos meses de janeiro a dezembro e considerando  √3 = 1,7, pode-se estimar que, de  maio até agosto, o peso dessa pessoa :

01) diminuiu 4,50kg.

02) aumentou 4,50kg.

•03) diminuiu 6,75kg.

04) aumentou 6,75kg.

05) diminuiu 7,56kg.

Vejamos : através da função P(t) = 65 − 5cos[(t+3)π/6]

Maio, t = 5 → P(5) = 65 − 5cos[(5+3)π/6] = 65 – 5 cos4π/3 = 65 – 5.(- 1/2) = 65 + 5 . 0,5 = 65 + 2,5 = 67,5.

Agosto, t = 8 → P(8) = 65 − 5cos[(8+3)π/6] = 65 – 5.cos11π/6 = 65 – 5.(√3/2) = 65 – 5 . 0,85 = 65 – 4,25 = 60,75

Portanto a diferença : 67,5 – 60,75 = 6,75

13. Considere-se, no plano cartesiano, o triângulo de vértices  M =(k, 1),   N = (5, 1) e P = (3, 3). Se o ângulo interno  MNP mede 60⁰,  então o  valor da constante k está entre :

01) − 2 e − 1

02) − 1 e 0

03) 0 e 1               SEM ALTERNATIVA

04) 1 e 2

05) 2 e 3

Vejamos : d_MN = √(x_M - x_N)² + (y_M - y_N)² = √(k - 5)² + (1 - 1)² = √(k - 5)²

                  d_MP = √(x_M – x_P)² + (y_M – y_P)² = √(k - 3)² + (1 - 3)² = √(k - 3)² + 4

                  d_PN = √(x_P - x_N)² + (y_P - y_N)² = √(3 - 5)² + (3 - 1)² = √4 + 4 = √8

Atraves da lei dos cossenos : d_MP² = d_MN² + d_PN² – 2 . d_MN . d_PN . cos 60⁰

(k - 3)² + 4 = (k - 5)² + 8 – 2 . √(k - 5)². √8 . ½

Como sabemos √x² = │x│, então √(k - 5)² = │k - 5│

K² – 6k + 9 + 4 = k² – 10k + 25 + 8 – 2.│k – 5 │.2√2.1/2

- 6k + 13 = - 10k + 33 - 2√2 . │k – 5 │→ - 6k + 10k + 2√2 . │k - 5 │ = 33 – 13

1^a Condiçao :  │k - 5 │= k – 5 → 4k + 2√2.(k-5) =20 → 4k + 2√2k - 10√2 = 20

(4 + 2√2)k = 10(2 + √2) → k = 10(2+√2)/2(2+√2) →k = 5

2^a Condiçao :  │k - 5 │= - k + 5 → 4k + 2√2.(-k+5)=20→4k - 2√2k + 10√2 = 20

(4 - 2√2)k = 10(2 - √2) → k = 10(2-√2)/2(2-√2) →k = 5

                                   Anulada

14.

Uma pessoa ganhou uma lata de biscoitos de forma cilíndrica e, ao abri-la, constatou que os biscoitos vinham acondicionados em quatro caixas retangulares de mesmo tamanho, como ilustrado na figura 1. Na figura 2, tem-se a representação de uma seção transversal da lata cuja medida do raio forma, com as dimensões da base de cada caixa, uma progressão aritmética de razão 2. Considerando-se que a lata e as caixas têm a mesma altura, pode-se afirmar que a razão entre as capacidades da lata e das quatro caixas é igual a :

01) 7π/6

02) 5π/3

03) 25π/12       SEM ALTERNATIVA

04) 5π/2

05) 8π/3

Raio da seção transversal = r

Dimensões da base de cada caixa = a e b

Altura da lata e caixa = h

a , b e r  formam uma PA de razão 2 → então podemos escrever x-2,x,x+2

Observando cada caixa notamos que a² + b² = r², então (x-2)² + x² = (x+2)²

x² – 4x + 4 + x² = x² + 4x + 4 →x² - 8x = 0 → x' = 0(não convem) e x''= 8

Portanto a = 6, b = 8 e r = 10

Volume_LATA  = π.r².h  e  Volume_CAIXA = 2a.2b.h= 4abh

Volume_LATA / Volume_CAIXA = π.r².h / 4abh = π. 10² / 4.6.8  

Volume_LATA / Volume_CAIXA  = 100π/192= 25π/48

15.

Uma cidade P está situada 12km ao leste e 18km ao norte da cidade Q, como indicado na figura.   Uma companhia telefônica quer posicionar uma torre retransmissora  de modo que sua distância à cidade P seja o dobro da distancia até a cidade Q. Então, o lugar geométrico de um ponto T que represente uma possível localização da torre, na figura, é :

01) uma reta paralela ao eixo das abscissas.

02) uma reta paralela ao eixo das ordenadas.

03) uma parábola com vértice no ponto (2, 3).

•04) uma circunferência de centro C = (− 4, − 6)  e raio r = 4√13 .

05) uma circunferência de centro C = (4, 6) e raio r = 4√13 .

Observando a figura notamos que Q(0,0) e P(12,18)

A condição da questão e distância_PT = 2.distância_QT , então

√(x_T - 12)² + (y_T – 18)² = 2. √(x_T – 0)² + (y_T – 0)²

(x_T - 12)² + (y_T – 18)² = 4. (x_T² + y²)

x² – 24x + 144 + y² – 36y + 324 = 4x² + 4y²

3x² + 3y² + 24x + 36y – 468 = 0(÷3)

x² + y² + 8x + 12y – 156 = 0 → circunferencia de centro (-4,-6) e raio = 4√13

QUESTOES UERJ- 2017 (TIPO ANALITICA) - COMENTADAS

1.(Uerj 2017)  Crianças de uma escola participaram de uma campanha de vacinação contra a paralisia infantil e o sarampo. Após a campanha, verificou-se que 80% das crianças receberam a vacina contra a paralisia, 90% receberam a vacina contra o sarampo, e 5% não receberam nem uma, nem outra. Determine o percentual de crianças dessa escola que receberam as duas vacinas.

Resposta da questão 1:

Seja p o percentual pedido.

Tem-se que : (80% - p) + p + (90% - p) + 5% = 100% → p = 75%

  

  

2. (Uerj 2017)  Para construir uma caixa com a forma de um paralelepípedo retângulo, foi usado um quadrado de cartolina de 12cm de lado. Nessa cartolina, recortou-se um dodecágono com quatro lados medindo x cm e oito lados medindo (x/2 + y) cm. A caixa tem altura y e sua base é um quadrado de lado x. Observe as ilustrações:

Sabe-se que o gráfico a seguir representa uma função polinomial de variável real definida por P(x) = - x³ + ax², sendo a um número real positivo. Para x > 0 , P(x) assume valor máximo em x₁ = 2a/3. 

Com base nessas informações, calcule o maior volume que essa caixa pode assumir.

Resposta da questão 2:

 Tem-se que 2.(y + x/2) + x = 12 → y = 6 – x, com 0 < x < 6.

  Logo, o volume, V, da caixa é dado por V = x . x . y = - x³ + 6x² = P(x)

  Portanto, segue que a = 6 , vem x₁ = 2.6/3 = 4.

  A resposta é P(4) = -4³ + 6.4² = 32 cm³   

  

3. (Uerj 2017)  Observe o plano cartesiano a seguir, no qual estão representados os gráficos das funções definidas por f(x) = 2^x+1, g(x) = 8 e h(x) = k, sendo x ε R e k uma constante real.

No retângulo ABCD, destacado no plano, os vértices A e C são as interseções dos gráficos f Ո h e f Ո g, respectivamente. Determine a área desse retângulo.

Resposta da questão 3:

 A abscissa do ponto C, x_C , é tal que f(x) = g(x) → 2^x+1 = 8 → x_C = 2

Logo, a ordenada do ponto C,  y_C = f(x_C), é y_C = 8

  

Ademais, a ordenada do ponto A, y_A = f(x_A), é igual a f(0) ou seja, y_A = 2.

 

Portanto, como x_B = x_C e Y_B = y_A , segue que a resposta é dada por

(ABCD) = (x_B - x_A) . (y_C - y_B) = 2 . 6 = 12 u.a.

  

4. (Uerj 2017)  Um capital de C reais foi investido a juros compostos de 10% ao mês e gerou, em três meses, um montante de R$ 53240,00. Calcule o valor, em reais, do capital inicial C.

  

Resposta da questão 4:

 Sendo i = 10% = 0,1 e n = 3 vem, 53240 = C(1 + 0,1)³ → C = 53240/1,331

C = R$ 40000,00 

5. (Uerj 2017)  Em uma atividade nas olimpíadas de matemática de uma escola, os alunos largaram, no sentido do solo, uma pequena bola de uma altura de 12 m. Eles observaram que, cada vez que a bola toca o solo, ela sobe e atinge 50% da altura máxima da queda imediatamente anterior.

Calcule a distância total, em metros, percorrida na vertical pela bola ao tocar o solo pela oitava vez.

  

Resposta da questão 5:

 A resposta é dada por 12 + 12 + 12 . 1/2 + ... + 12 . (1/2)⁶ =

12 + 12 . [1 - (1/2)⁶] / (1-1/2) = 12 + 12 . 63/32 ≈ 36 m

  

6. (Uerj 2017)  Uma criança possui um cofre com 45 moedas: 15 de dez centavos, 15 de cinquenta centavos e 15 de um real. Ela vai retirar do cofre um grupo de 12 moedas ao acaso. Há vários modos de ocorrer essa retirada. Admita que as retiradas são diferenciadas apenas pela quantidade de moedas de cada valor. Determine quantas retiradas distintas, desse grupo de 12 moedas, a criança poderá realizar.

Resposta da questão 6:

 Sejam x, y e z, respectivamente, o número de moedas de dez centavos, o número de moedas de cinquenta centavos e o número de moedas de um real, de tal sorte que x + y + z = 12.

Queremos calcular o número de soluções inteiras não negativas dessa equação. Tal resultado corresponde ao número de combinações completas de 3 objetos tomados 12 a 12 isto é, CR₃¹² = (3+12-1)!/12! = 91    

  

  

7. (Uerj 2017)  Considere a circunferência C de equação x² + y² – 8x + 8=0, representada graficamente a seguir.

Determine as equações das retas r e s que passam pela origem e são tangentes à circunferência.

Resposta da questão 7:

 Seja y = m_rx, com m_r > 0 a equação da reta r. Se r é tangente a C, então o

discriminante da equação x² + (m_rx)² – 8x + 8 = 0 →( m_r² + 1)x²-8x+8 = 0  

é igual a zero. Logo, temos (-8)² – 4.(m_r² + 1).8 = 0 → m_r = 1

Ademais, sendo y = m_sx com m_s < 0 concluímos, por um raciocínio

inteiramente análogo, que m_s = -1.

  

Portanto, as equações das retas r e s, são, respectivamente, y = x e y = - x   

  

8. (Uerj 2017)  O proprietário de uma lanchonete vai ao supermercado comprar sardinha e atum enlatados. Cada lata de sardinha pesa 400g, e cada lata de atum, 300g. Como sua bolsa de compras suporta até 6,5kg, ele decide comprar exatamente 6kg. dessas latas. Sabe-se que foi comprada pelo menos uma lata de cada pescado.

Resposta da questão 8:

 Sejam s e a, respectivamente, o número de latas de sardinha e o número

de latas de atum, com s ≥ 1,  a ≥ 1 e s,a ε Z₊^*.

Logo, vem 300s + 400ª = 6000 → a = (60-3s)/4

Para que o total de latas seja máximo, o número de latas de atum deve ser mínimo e o de sardinhas deve ser máximo. Assim, vem s = 16 e a = 3. Em consequência, a resposta é s + a = 19.  

Determine o maior número possível de latas que o proprietário da lanchonete poderá comprar.

  

9. (Uerj 2017)  O treinador de um time de futebol desconhece a média das idades de seus 11 jogadores. Porém, ele possui as seguintes informações:

- o capitão tem 30 anos;

- o goleiro tem 23 anos;

- a média de idade do time sem esses dois jogadores é um ano menor do que a média de idade do time completo.

Calcule a média de idade do time completo.

Resposta da questão 9:

 Sejam x₁, x₂, ..., x₉  as idades desconhecidas. Logo, temos

(∑₁⁹ x_i) / 9 = [(∑₁⁹ x_i + 23 = 30) / 11] – 1 → 11. (∑₁⁹ x_i) = (∑₁⁹ x_i + 477 - 99) →

(∑₁⁹ x_i) = 189 . Por conseguinte, a resposta é (189 + 53) / 11 = 22.  

  

10. (Uerj 2017)  Ao coletar os dados para um estudo topográfico da margem de um lago a partir dos pontos A, B e T, um técnico determinou as medidas AT = 32m, BT = 13m e ATB = 120⁰ representadas no esquema abaixo.

Calcule a distância, em metros, entre os pontos A e B, definidos pelo técnico nas margens desse lago.

Resposta da questão 10:

 Tem-se, pela Lei dos Cossenos, que a resposta é

AB² = AT² + BT² – 2 . AT . BT . cos ATB → AB² = 32² + 13² – 2.32.13 . (-1/2)

AB = √1609 → AB ≈ 40 m.