QUESTÕES VESTIBULAR UNITINS 2017 – COMENTADAS

1.Sabendo que os ângulos  α, β e γ pertencem a um mesmo ciclo trigonométrico e que :

sen ɣ > 0 e  cotg ɣ > 0

sen α < 0 e cos α < 0

cos β < 0 e tg β < 0

Podemos afirmar que os quadrantes em que esses ângulos estão definidos, respectivamente, serão:

a) 2º, 1º e 2º

b) 1º, 3º e 2º

c) 3º, 2º e 1º

d) 4º, 3º e 2º

e) 1º, 4º e 2º

Vejamos :

Observando o ciclo trigonométrico podemos definir os sinais das relações 

trigonométricas abaixo,

quadrante     sen     cos     tg     cotg     sec     cossec

      1⁰                      +          +       +        +          +           + 

      2⁰                      +          –       –         –         –           + 

      3⁰                      –          –       +          +         –          – 

      4⁰                      –          +        –         –         +           –

    Entao :

sen ɣ > 0 e  cotg ɣ > 0, 1⁰ quadrante

sen α < 0 e cos α < 0, 3⁰ quadrante

      cos β < 0 e tg β < 0, 2⁰ quadrante

2. De acordo com as proposições, é correto afirmar que:

a) Somente I esta correta.

b) Somente II e III estão corretas.

c) Somente I e III estão corretas.

d) Somente I e II estão corretas.

e) Somente III está correta

Vejamos :

I) VERDADEIRO, sendo A a matriz Identidade, então sua Inversa A^-1 será

igual a A. Portanto (A + A^-1)² = (A + A)² = (2A)² = 4A² = 4I².

II) VERDADEIRO, por definição, basta trocar a primeira coluna pela

primeira linha, a segunda coluna pela segunda coluna e assim por

diante .

III) FALSO, a₁₁ = 4.1 - 2.1 + 3 = 5 e não -5.

3. Sabendo que em um triângulo NOP o ângulo interno do vértice O mede 70⁰ e  o ângulo interno do vértice P mede 30⁰, a soma do ângulo interno do vértice N com o ângulo agudo definido pela bissetriz interna do vértice N e a bissetriz externa do vértice do ângulo P será igual a:

a) 115⁰

b) 145⁰

c) 125⁰

d) 105⁰

e) 95⁰

Vejamos :

                                                                     

                                                                 

                                       

Como 70⁰ + 30⁰ + 2x = 180⁰, então x = 40⁰ e  2z + 30⁰ = 180⁰, então z = 75⁰.

Sendo x + y + 30⁰ + z = 180⁰ → 40 + y + 30⁰ + 75 = 180⁰ → y = 180⁰ - 145⁰ →

y = 35⁰.

Portanto, a soma do ângulo interno do vértice N, com o ângulo agudo

definido pela bissetriz interna do vértice N e a bissetriz externa do

vértice do ângulo P, será igual a 2x + y = 80⁰ + 35⁰ = 115⁰

4.  No Tocantins, a partir do mês de maio do ano de 2016, foi necessária a inclusão do número 9 como primeiro algarismo para realizar uma ligação para todos os telefone celulares do Estado. Assim, qual a quantidade máxima de números de telefones com 9 algarismos indiferentes de sua sequência numérica a partir do segundo algarismo, podem ser disponibilizados para o Estado do Tocantins?

a) 999 999 999

b) 800 000 000

c) 900 000 000

d) 899 000 000

e) 100 000 000

Vejamos :

A sequência numérica a partir do segundo algarismo, podem ser

disponibilizados da seguinte forma : 9,xxxxxxxx, ou seja

10.10.10.10.10.10.10.10 = 10⁸ = 100.000.000

5. Uma empresa de transporte cobra em cada corrida o valor fixo de R$ 220,00 mais R$ 2,90 por quilômetro rodado. A quantidade máxima de quilômetros rodados para que em uma corrida o valor total a ser pago não ultrapasse R$ 2.300,00 será:

a) 793 km

b) 717 km

c) 638 km

d) 1.179 km

e) 2.980 km

Vejamos :

Uma empresa de transporte cobra em cada corrida o valor fixo de R$

220,00 mais R$ 2,90 por quilômetro rodado → Custo = C(x) = 220 + 2,9x,

onde x indica os quilômetros rodados.

A quantidade máxima de quilômetros rodados para que  o valor total a ser

pago não ultrapasse R$ 2.300,00 → C(x) = 220 + 2,9x ≤ 2300 →

2,9x ≤ 2300 – 220 → 2,9x ≤ 2080 → x ≤ 2080/2,9 → x ≤ 717,24.

Portanto 717 km

6. Em uma apresentação de uma peça teatral, foram vendidos 1.000 bilhetes, arrecadando um total de R$ 5.550,00. Sabendo que o valor da entrada foi de R$ 6,00 para homens e R$ 4,50 para mulheres, a razão entre quantidade de mulheres e homens que assistiram a peça foi igual a:

a) 7/3

b) 4/3

c) 3/7

d) 3/4

e) 5/3

Vejamos :

Homens(x) → R$ 6,00  e Mulheres(y) → R$ 4,50

Foram vendidos 1.000 bilhetes → x + y = 1000, arrecadando um total de

R$ 5.550,00 → 6x + 4,5y = 5550.

Resolvendo o sistema, x = 1000 – y e 6x + 4,5y = 5550 →

6.(1000 - y) + 4,5y = 5550 → 6.000 - 6y + 4,5y = 5550 → -1,5y = - 450 →

y = 300 e x = 700.

Portanto a razão entre quantidade de mulheres e homens → y/x = 3/7

7. O professor Paulo, ao corrigir as provas de Cálculo, verificou que a média foi igual a 60. Alterando o sistema de avaliação e conservando nota máxima igual a 100, verificou que a nova média da sala passou a ser 80. Sabendo que a nota mínima de aprovação antes da reavaliação proposta era igual a 50, o valor da nova nota de aprovação será:

a) 65

b) 60

c) 75

d) 55

e) 70

Vejamos :

A média foi igual a 60, quando a nota mínima de aprovação era igual a 50,

Alterando o sistema de avaliação, verificou que a nova média da sala

passou a ser 80, então 60/80 = 0,75 = 75%.

Portanto 75% de 100 = 75 será a nova nota de aprovação .

8. Sabendo que a área do polígono ABCDEF é igual a 794cm², o valor em cm² da área do trapézio CDEF será de aproximadamente:

a) 33,12 cm²

b) 247 cm²

c) 24,7 cm²

d) 331,2 cm²

e) 475 cm²

Vejamos :

Observe os dois trapézios, ABCF e CDEF.

Trapézio ABCF → Base maior = AE = 2x + 5, Base menor = BC = 2x + 5 - (x

+ 3) = x + 2, Altura = AB = 2x + 5.

Trapézio CDEF → Base maior = EF = (2x + 5) + (x + 3) = 3x + 8, Base menor

= CD = x + 3, Altura = DE = x + 3

Se a área do polígono ABCDEF é igual a 794cm², então Area_ABCF +

Area_CDEF = 794.

Como a área de um trapézio é A = (Base maior + Base menor).Altura/2,

[(2x + 5+ x + 2).(2x + 5)]/2 + [(3x + 8 + x + 3).(x + 3)]/2= 794 →

(3x + 7).(2x + 5) + (4x + 11).(x + 3) = 1588 →

6x² + 15x + 14x + 35 + 4x² + 12x + 11x + 33 – 1588 = 0

10x² + 52x  – 1520 = 0(: 2) → 5x² + 26x – 760 = 0 →

∆ = 676 + 4.5.760 = 15876 → x = (- 26 ± 126)/10 → x' = 10 ou x'' = - 15,2(?)

Portanto a área do trapézio CDEF é igual a (4.10 + 11).(10 + 3)/2 = 51.13/2

663/2 = 331,5 cm²

9 -  Analise as proposições e dê a soma das proposições corretas:

01) Se log_bx = 11 e log_by = 6 , o valor de log_b (x³ y²) = 45 .

02) O valor da expressão log₃ 5 . log₂₅ 81 é igual a 2.   

04) o valor de x  para a equação exponencial 5^{x^2 – 2x} = 125 pode ser x = 3 ou x = -1.  

08) A solução da inequação 2^{x + 7} < 32  é S = {x ɛ R / x < - 2}

a) 15

b) 12

c) 10

d) 3

e) 1

Vejamos :

01) VERDADEIRO, Se log_bx = 11 e log_by = 6 , o valor de log_b (x³ y²) =

log_b x³ + log_b y² = 3log_b x + 2log_b y = 3.11 + 2.6 = 45

02) VERDADEIRO, O valor da expressão log₃ 5 . log₂₅ 81 =

log₃ 5 . (log₃ 81/log₃ 25) = log₃ 5 . (4log₃ 3/2log₃ 5) = log₃ 5 . (4/2log₃ 5) =   

(4log₃ 5)/(2log₃ 5) = 4/2 = 2. 

 04) VERDADEIRO, o valor de x  para a equação exponencial 5^{x^2 – 2x} = 125 → x² - 2x = 3 → x² - 2x - 3 = 0  pode ser x = 3 ou x = -1.  

08) VERDADEIRO, A solução da inequação 2^{x + 7} < 32  → 2^{x + 7} < 2⁵ →

x + 7 < 5 é S = {x ɛ R / x < - 2}

Portanto 01 + 02 + 04 + 08 = 15

10. Uma pesquisa realizada entre 3.400 alunos de uma escola revelou que exatamente 17% praticam futebol, 22% praticam basquete e 8% praticam basquete e futebol. A soma dos alunos que praticam futebol com os alunos que não praticam nenhum dos dois esportes é:

a) 1.780

b) 1.045

c) 1.326

d) 2.460

e) 2.924

 Vejamos :

Observando os dados apresentados, vem

17% praticam futebol → 17% de 3400 = 578

22% praticam basquete → 22% de 3400 = 748

8% praticam basquete e futebol → 8% de 3400 = 272

O número dos alunos que praticam basquete ou futebol →

futebol + basquete - (basquete e futebol) = 578 + 748 - 272 = 1054

O número dos alunos que não praticam basquete ou futebol →

3400 - 1054 = 2346.

Finalmente, a soma dos alunos que praticam futebol com os alunos que

não praticam nenhum dos dois esportes é 578 + 2346 = 2924

A MATEMÁTICA E OS MISTÉRIOS DA VIDA.

QUESTÕES PROCESSO SELETIVO EAD - UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS 2017.2 - COMENTADAS

1.O quadro a seguir apresenta a quantidade de visitantes aos equipamentos turísticos da cidade de Santos, no ano de 2016.

Equipamento turístico           Visitantes em 2016 (em milhares)

Aquário Municipal                                  529

Museu do Café                                        309

Orquidário Municipal                             184

Bonde Turístico                                        99

Memorial das Conquistas                       63

Museu Pelé                                               50

                                                        Disponível em: Folha de S. Paulo, 25/06/17, p. B7 [Adaptado]. 

De acordo com os dados apresentados nesse quadro, a média de visitantes nestes seis equipamentos foi :

(A) menor que a quantidade de visitantes do Bonde Turístico e Memorial das Conquistas juntos.

(B) maior que a quantidade de visitantes do Museu do Café.

(C) menor que o triplo de visitantes do Memorial das Conquistas.

(D) maior que o número de visitantes do Orquidário Municipal.

Vejamos :

Média dos visitantes → med = (529 + 309 + 184 + 99 + 63 + 50)/6 →

med = 1234/6 → med = 205,67

(A) FALSO, maior que a quantidade de visitantes do Bonde Turístico e Memorial das Conquistas juntos (205,67 > 99 + 63 = 162).

(B) FALSO, menor que a quantidade de visitantes do Museu do Café (205,67 < 309).

(C) FALSO, maior que o triplo de visitantes do Memorial das Conquistas (205,67 > 3x63 = 189).

(D) VERDADEIRO, maior que o número de visitantes do Orquidário Municipal (205,67 > 184).

2. Uma confeiteira fabrica bolos sob encomenda e o seu lucro depende da quantidade de bolos que ela fabrica. Para fabricar n bolos, ela tem um lucro de L(n) = 45 – 0,5n, em cada bolo fabricado. Nessas condições, o lucro máximo que essa confeiteira terá na fabricação de seus bolos será: 

(A) R$ 1.012,50

(B) R$ 1.122,50

(C) R$ 1.202,50

(D) R$ 2.022,50

Vejamos :

Lucro de L(n) = 45 – 0,5n, em cada bolo fabricado.

Lucro máximo de seus bolos → L_Total(n) = (45 – 0,5n).n →

L_Total(n) = - 0,5n² + 45n → Valor máximo = -∆/4a = - (b² – 4.a.c)/4a =

- [45² – 4.(- 0,5).0]/4.(- 0,5) = (- 2025)/(- 2) = R$ 1012,50

3. Segundo dados da Agência Brasil, a marca de R$ 1 trilhão de pagamento em impostos pela população brasileira foi atingida em 16 de junho de 2017.

                                          [disponível em www.agenciabrasil.ebc.com.br. Acesso em 25/06/2017].

Considerando todos os meses com 30 dias, o valor médio diário arrecadado com impostos no Brasil, no período de 1 de janeiro a 16 junho de 2017, foi, aproximadamente, de: 

(A) R$ 6.024,09

(B) R$ 6.024.096,38

(C) R$ 6.024.096.385,54

(D) R$ 60.240.963.855,42

Vejamos :

O período de 1 de janeiro a 16 junho, com meses de 30 dias, corresponde

a 166 dias.

Valor médio diário arrecadado = 1 trilhão/166 = 1.000.000.000.000/166 =

R$ 6.024.096.385,50

4. Leia o fragmento a seguir.

A balança comercial goiana, no acumulado de janeiro a dezembro de 2016, apresentou superávit recorde. Nesse período, as exportações goianas somaram US$ 5,93 bilhões, registrando acréscimo de 0,88% em relação ao mesmo período de 2015. 

Disponível em:http://www.sed.go.gov.br/post/ver/218333/balanca-comercial-goianaapresenta-superavit-recorde-em-2016. Acesso em 25 jun. 17 ,Adaptado

De acordo com esses dados, o valor das exportações goianas em 2015 foi, aproximadamente, de: 

(A) US$ 5,05

(B) US$ 5,45

(C) US$ 5,88

(D) US$ 5,98

Vejamos :

Vamos supor que as exportações em 2015 foram iguais a "x", então

X + 0,88% de X = 5,93 bilhões.

X + 0,88% . X = 5,93 → X + 0,88X/100 = 5,93 → 100X + 0,88X = 593 →

100,88X = 593 → X = 593/100,88 → X = US$ 5,88.

5. Duas amigas foram a uma liquidação e compraram três tipos de calçados: sapato, sandália e bota. Cada tipo custava o mesmo valor. A primeira comprou cinco pares de sapato, duas sandálias e três botas e pagou um total de R$ 1.200,00. A segunda comprou três pares de sapato, quatro sandálias e duas botas, totalizando R$ 960,00. Considerando que o preço de uma bota era o dobro do preço de uma sandália, o preço da bota foi de: 

(A) R$ 75,00

(B) R$ 95,00

(C) R$ 120,00

(D) R$ 150,00

Vejamos : 

Vamos supor os preços dos calçados: sapato = x, sandália = y e bota = z.

A primeira comprou → 5x + 2y + 3z = 1200 (eq. I)

A segunda comprou → 3x + 4y + 2z = 960 (eq. II)

Considerando que o preço de uma bota era o dobro do preço de uma

sandália → z = 2y (eq. III)

Resolvendo o sistema : substituindo equação III em I e II.

5x + 2y + 3.2y = 1200 → 5x + 8y = 1200  e 

3x + 4y + 2.2y = 960 → 3x + 8y = 960.

Diminuindo membro a membro, vem (5x + 8y = 1200) - (3x + 8y = 960 ) →

(5x – 3x) + (8y – 8y) = (1200 - 960) → 2x = 240 → x = 120

Se 5x + 8y = 1200 → 5.120 + 8y = 1200 → 8y = 600 → y = 75

Portanto o preço da bota era z = 2y → z = 2.75 → z = R$ 150,00

6. A magnitude M de um terremoto e a energia por ele liberada (em Joules) E, estão relacionadas pela seguinte equação: log(E) = 4,4 + 1,5M , sendo que o logaritmo está na base 10. Se um terremoto teve magnitude 1,95, a energia por ele liberada, em Joules, foi :

                                              (Use : 10^{325/ 1000} = 2,11)

(A) 2,11×10²

(B) 2,11×10⁵

(C) 2,11×10⁷

(D) 2,11×10²²

Vejamos :

Como a equação  log(E) = 4,4 + 1,5M , e para magnitude 1,95, a energia

por ele liberada, em Joules, log(E) = 4,4 + 1,5.1,95 → log(E) = 4,4 + 2,925   

→ log(E) = 7,325 → E = 10^7,325 → E = 10⁷.10^0,325 → E = 10⁷.10^325/1000 →

E = 10⁷. 2,11 = 2,11.10⁷ Joules

7. A figura, a seguir, representa uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulos equiláteros.

                                   

                        

Considerando o triângulo isósceles de vértices B, D e E, a razão entre a sua área e a área de uma face lateral da pirâmide é: 

(A) 2√3/3

(B) 3/2

(C) 3√3/2

(D) 2/3

Vejamos : 

Como as faces laterais são

triângulos equiláteros, então                   

suas áreas medem A_L = a²√3/4.                         

                                                                                                             

O triangulo BDE, apresenta base               

equivalente à diagonal da pirâmide         

Sua altura poderá ser obtida através                                                                       

do teorema de Pitágoras, a² = h² + (a√2/2)² →  a² = h² + a²/2 → h² = a²/2

h = a/√2 → Área = (base.altura)/2 = [a√2.(a/√2)]/2 → A_BDE = a²/2

Portanto A_BDE /A_L = (a²/2)/( a²√3/4) = (a²/2)/( 4/a²√3) =   2/√3 = 2√3/3

8. As equações  4x² + 4y² – 24x – 32y + 91 = 0    e     2x – 3y + 3 = 0 representam, no plano cartesiano, uma circunferência e uma reta com :

(A) ausência de interseção entre seus pontos.

(B) interseção em dois pontos que determinam um segmento menor que um diâmetro da circunferência.

(C) tangência em um ponto de abscissa 3.

(D) interseção em dois pontos que determinam um diâmetro da circunferência.

Vejamos :

Resolvendo o sistema de equações : 4x² + 4y² – 24x – 32y + 91 = 0    e    

2x – 3y + 3 = 0 .

4x² + 4y² – 24x – 32y + 91 = 0 (: 4) → x² + y² – 6x – 8y + 91/4 = 0    e    

2x – 3y + 3 = 0 → 2x = 3y – 3 → x = (3y - 3)/2

Por substituição → [(3y - 3)/2]² + y² – 6.[(3y - 3)/2] – 8y + 91/4 = 0

(9y² – 18y + 9)/4 + y² – 9y + 9 – 8y + 91/4 = 0

9y² – 18y + 9 + 4y² – 36y + 36 – 32y + 91 = 0

13y² – 86y + 136 = 0 → ∆ = (- 86)² – 4.13.136 = 7396 – 7072 = 324

y = (86 ± 18)/26 → y' = 104/26 = 4  ou  y" = 68/26 = 3

x' = (3.4 - 3)/2 = 9/2  e  x" = (3.3 - 3)/2 = 3

Portanto a interseção ocorre em dois pontos A(9/2, 4) e B(3, 3), cujo

comprimento mede d_AB = √[(x_B – x_A)² + (y_B – y_A)²] = √[(3 – 9/2)² + (3 – 4)²] =

√(9/4 + 1) = √13/2.

Observando a equação da circunferência x² + y² – 6x – 8y + 91/4 = 0   

notamos que o centro é C(3, 4) e o raio 3² + 4² – r² = 91/4 → 25 – r² = 91/4

100 – 91 = 4r² → r² = 9/4 → r = 3/2 e o diâmetro = 2r = 3

Finalmente a interseção ocorre em dois pontos que determinam um

segmento menor que um diâmetro da circunferência, √13/2 < 3 .