1.Dados R=
{números reais}, M = {x ∈ R, 5 – 2x ≥ 1}, P = {x ∈ R, x2 < 9 }, e
S = {x ∈ R, x3 + x2
– 12x = 0}, é correto afirmar que :
01) P – S ⊂ M.
02) M ∪ P = R.
03) M ∩ P ∩ S = {0}.
04) ] –3, 2] ∈ M ∩ P.
05) (S ∪ P) ∩ M = S ∪ (P ∩ M).
Vejamos :
●
M = {x ∈
R, 5 – 2x ≥ 1} → 5 – 2x ≥ 1 → – 2x ≥ 1 –
5 → – 2x ≥ - 4 . (- 1) →
2x
≤ 4 → x ≤ 2.
+ −
+
●
P = {x ∈
R, x2 < 9 } → x2 < 9 → --------- -3 --------- 3 ---------- → - 3 < x < 3
●
S = {x ∈
R, x3 + x2 – 12x = 0} → x3 + x2 – 12x
= 0 → x(x2 + x – 12) = 0 →
x'
= 0 ou x2 + x – 12 = 0 → x" = - 4 ou x"' = 3 → {- 4, 0, 3}
Observando o quadro acima podemos notar que a alternativa correta é 03.
2. Um complexo hospitalar possui 10 pavilhões, cada um
com capacidade máxima de atender a 40 pacientes. De acordo com a necessidade,
foram atendidos, em média, 21,25 pacientes por pavilhão. Sabe-se que, para
higienização e desinfecção do espaço, três pavilhões foram desativados no
período, continuando os mesmos pacientes, o que resultou em uma média de
atendimento, por pavilhão, de :
01) 31,85
pacientes.
02) 34,0 pacientes.
03) 36,35
pacientes.
04) 38,0
pacientes.
05) 41,85
pacientes
Vejamos :
A capacidade máxima de atendimento é 40 x 10 = 400 pacientes
Repare que tanto os pacientes como os pavilhões devem ser
expressos por números inteiros.
Foram
atendidos, em média, 21,25 pacientes por pavilhão .
Como
o número de pacientes deve ser um valor inteiro, então
será
necessário trabalhar com uma quantidade inteira "múltipla" de 21,25,
ou
seja 21,25 x 4 = 85; 21,25 x 8 = 170 ; 21,25 x 12
= 255 ; 21,25 x 16 = 340 ;
21,25
x 20 = 425 ( não convém pois ultrapassa a quantidade máxima de
atendimento).
85
pacientes = 40 + 40 + 5 = 85/3 = 28,33 ???
170 pacientes
= 40 + 40 + 40 + 40 + 10 → 170/5 = 34
255
pacientes = 40 + 40 + 40 + 40 + 40 + 40 + 15 → 255/7 = 36,43 ???
340
pacientes = 40 + 40 + 40 + 40 + 40 + 40 + 40 + 40 + 20 → 340/9
(
9 pavilhões no lugar de 7, incoerente ).
3.Um paciente
apresentou, às 17h20min, uma temperatura de 36,5o C,
que chegou a
37,4o C em seguida, às 18h05min. Admitindo-se que a temperatura
esteja aumentando como uma função do 1ºgrau, estima-se que ela deva atingir
41,0o C às :
01) 21h05min.
02) 21h10min.
03) 21h15min.
04) 21h20min.
05) 21h25min.
Vejamos :
Admitindo-se
que a temperatura esteja aumentando como uma função do 1ºgrau, ou seja T(t) =
at + b.
Para
t1 = 17h20min → T1 = 36,50C e Para
t2 = 18h05min → T2 = 37,40C
Vamos imaginar, que t1 seja o momento zero, então t2
será o momento 45 min.
(0; 36,5) ϵ T(t)
= at + b.→ 36,5 = a.0 + b → b =
36,5
(45; 37,4) ϵ T(t)
= at + b.→ 37,4 = a.45 + 36,5 → 45a = 37,4 – 36,5 →
45a = 0,9 → a = 0,9/45 → a
= 0,02 → T(t) =
0,02t + 36,5
Estima-se
que ela deva atingir 41,0o C às : 41,0 = 0,02t + 36,5 → 0,02t = 4,5
t
= 4,5/0,02 → t = 225 min → t = 3h45 min.
Portanto,
se t1 = 17h20min então 17h20min + 3h45 min → 21h05min
QUESTÕES
4 e 5
No início da década passada, segundo as
estimativas, o Brasil contava com 1,72 médicos por 1000 habitantes. Entretanto,
ao longo daquela década, a população brasileira aumentou cerca de 12,5%,
enquanto o número de médicos aumentou cerca de 25%.
4. Com base nesses dados, pode-se estimar que, no
final da década, o número de médicos por 1000 habitantes havia aumentado para,
aproximadamente,
01) 1,78
02) 1,81
03) 1,84
04) 1,88
05) 1,91
Vejamos :
Para facilitar, vamos admitir que o Brasil
contava com 172 médicos por
100000 habitantes (dividindo 172 por
100000, resulta 1,72 por 1000)
O
número de médicos aumentou cerca de 25% → 1,72 + 25% de 1,72 =
1,72
+ 0,43 = 215
A
população brasileira aumentou cerca de 12,5% → 100000 + 12,5% de
100000
= 112500
Portanto
o número de médicos por habitantes havia aumentado para,
aproximadamente,
215/112500 = 0,00191 ou 1,91/1000 (1,91 por
1000
habitantes).
5. Admitindo-se que o número de médicos tenha
aumentado, a cada ano daquela década, segundo uma progressão geométrica, e que
essa progressão continue com a mesma razão, é correto estimar, usando-se log25
≈ 2,32, se preciso, que o tempo necessário para que o número de médicos dobre é
de, aproximadamente,
01) 37 anos.
02) 35 anos.
03) 33 anos.
04) 31 anos.
05) 29 anos
Vejamos :
Admitindo-se que o número de médicos
tenha aumentado, a cada ano,
naquela década, segundo
uma progressão geométrica, e que essa
progressão continue com a mesma razão → an
= a1.qn - 1 → a2 = a1.q2 - 1
2,15 = 1,72.q → q = 2,15/1,72 → q = 5/4
Portanto, o tempo necessário para que o número
de médicos dobre,
N(t) = N0.qt → 2N0
= N0.( 1,25)t → 2 = (5/4)t → log2
2 = log2 (5/4)t →
1 = t(log2 5 – log2
4) → 1 = t(log25 – 2log2 2) → 1 = t . (2,32 -
2) →
1 = 0,32t → t = 1/0,32 → t ≈ 3,125
décadas → t ≈ 31,25 anos
6. Sabe-se que uma pedra, caindo livremente, percorre
5,8m durante o primeiro segundo, 15,5m no segundo seguinte, 25,2m no terceiro
segundo, e assim por diante. Se no n-ésimo segundo a pedra percorre 1160,10m,
então o tempo gasto, em minutos, nesse percurso, é igual a :
01) 2
02) 3
03) 4
04) 5
05) 6
Vejamos :
Observando que a pedra cai segundo uma PA
:( 5,8 ; 15,5 ; 25,2 ; ... ;
1160,1) de razão r = 9,7 então → an
= a1 + (n - 1).r →
1160,1 = 5,8 + (n - 1).9,7 → 1154,3 = (n
- 1).9,7 → 1154,3/9,7 = n – 1 →
119 = n – 1 → n = 120 segundos = 2 minutos.
7. Para
atualizar os equipamentos de um laboratório, foi feito um empréstimo no valor de
R$ 90.000,00, à taxa de juros simples de10% ao mês, com vencimento para 180
dias. Se o pagamento for antecipado em dois meses, pode-se estimar que haverá desconto
e seu valor, em reais, será de :
01) 3600,00
02) 5400,00
03) 9000,00
04) 14500,00
05) 18000,00
Vejamos :
Juros Simples → J = C . i . t , onde C é
o capital, i a taxa e t o tempo.
Note que a taxa e o tempo deverão estar
na mesma unidade, ou seja
i = 10%am e t = 180dias = 6 meses.
Portanto J = 90000.10%.6 = R$ 54000,00.
Se o pagamento for antecipado em dois
meses → J = 90000 . 10% . 4
J = 90000 . 10% . 4 = R$ 36000,00.
Portanto houve um desconto de 54000 –
36000 = R$ 18000,00
8. Cinco estudantes
de Medicina formaram um grupo de estudos. Dois de seus integrantes, entretanto
foram substituídos. A soma das idades
desses dois era 45
anos. Com a chegada dos substitutos, a média das idades do grupo aumentou dois
anos. Considerando-se 30 anos a idade de um dos novos integrantes, é correto
afirmar que a idade do outro, em anos, era igual a :
01) 22
02) 25
03) 29
04) 33
05) 39
Vejamos :
Cinco estudantes formaram um grupo →
Média = (a + b + c + d + e)/5 = X
Dois de seus integrantes foram substituídos.
E como a soma das idades
desses dois era 45 anos → (a + b + c + d + e)/5 = X → a + b = 45 →
(45 + c + d + e)/5 = X → 45 + c +
d + e = 5X → c + d + e = 5X - 45
Com
a chegada dos substitutos, a média das idades do grupo aumentou
dois
anos, MNova = (f + g + c + d + e)/5 = X + 2.
Considerando-se
30 anos a idade de um dos novos integrantes, f = 30 e
(30 + g + 5X - 45 )/5 = X +
2 → 30 + g + 5X - 45 = 5(X + 2) →
g
+ 5X – 15 = 5X + 10 → g – 15 = 10 → g = 25
9. A razão entre o volume de um cilindro, de raio r
e altura h = 0,25r, e o volume de um cubo, de aresta igual a altura do
cilindro, é igual a :
01) 16π
02) 8π
03) 5,35π
04) 4π
05) 0,3π
Vejamos :
VCilindro = π.r2.h = π.r2.0,25r = 0,25π.r3
VCilindro
/ VCubo= 0,25π.r3/0,253.r3 =
0,25π/0,253 = π/0,252 = π/(25/100)2 =
π/(1/4)2
= π/(1/16) = 16π
10. Para melhorar a iluminação de um ambulatório,
um poste deverá ser colocado em um jardim retangular, de modo que os quatro
vértices dessa área sejam iluminados com a mesma intensidade. Supondo-se que,
num plano cartesiano, os vértices do retângulo ABCD que delimita essa área são
os pontos A = (−1, 7), B = (1, 1), C = (10, 4) e D, pode-se afirmar que o ponto
P, do plano, onde o poste deve ser colocado tem coordenadas cuja soma pertence
ao intervalo :
01) [0, 3]
02) ]3, 6]
03) ]6, 9]
04) ]9, 12]
05) ]12, 15]
Vejamos :
Para que os quatro vértices dessa área
sejam iluminados com a mesma
intensidade o ponto P deve estar
localizado no encontro das diagonais do
retângulo.
Como as diagonais encontram-se em seus
pontos médios, então :
XP = (XA + XC)/2
= (-1 + 10)/2 = 9/2 e YP = (YA + YC)/2
= (7 + 4)/2 = 11/2
Portanto o ponto P apresentará as
coordenadas (9/2 , 11/2), cuja soma
vale 9/2 + 11/2 = 20/2 = 10
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