QUESTÕES VESTIBULAR Ufu 2017 – TIPO ANALÍTICA - COMENTADAS

1. (Ufu 2017)  Com o objetivo de aumentar as vendas, uma fábrica de peças oferece preços promocionais aos clientes atacadistas que compram a partir de 120 unidades. Durante esta promoção, a fábrica só aceitará dois tipos de encomendas: até 100 peças ou, pelo menos, 120 peças. O preço P(x) em reais, na venda de x unidades, é dado pelo gráfico seguinte, em que os dois trechos descritos correspondem a gráficos de funções afins.

                             

Nestas condições, qual o maior número de peças que se pode comprar com R$ 9800,00 ?

  

Do enunciado e do gráfico, temos:

                               

Os triângulos ABC e AED são semelhantes, pois BCA = EDA = 90⁰ e α é

ângulo comum dos triângulos AEC e AED.

Então, AC/AD = BC/ED → (x - 120)/80 = 200/3200 → (x - 120)/80 = 1/16 →

(x - 120)/5 = 1 → x - 120 = 5 → x = 125

Nas condições apresentadas, o maior número de peças que se pode

comprar com R$ 9800,00 é 125.  

2. (Ufu 2017)  Um fazendeiro pretende instalar um sistema de irrigação retilíneo, ligando os pontos B e D de sua propriedade rural, representada na figura seguinte pelo quadrilátero ABCD. Considerando que AB = AD = 5km, o ângulo ADC = 80⁰ e que BD = BC, qual será o custo total da instalação sabendo que o custo por quilômetro é de R$ 500,00 ?

Use √3 = 1,7        

                       

Do enunciado e da figura:

                           

Como BD = BC o triângulo BDC é isósceles com BCD = BDC = 50⁰

ADB = ADC – BDC  → ADB = 80⁰ – 50⁰ = 30⁰

Como o triângulo ABD é isósceles com AD = AB e ADB = 30⁰, ABD = 30⁰

No triângulo ABD, BAD + 30⁰ + 30⁰ = 180⁰ → BAD = 120⁰

Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo ABD,

BD² = 5² + 5² – 2.5.5.cos 120⁰ → BD² = 50 – 50.(-1/2) → BD² = 75 →

BD = √75 → BD = 5√3 → BD ≈ 8,5 km

Como o custo por quilômetro é de R$ 500,00, o custo total é dado por:

8,5 . 500 = 4250

Portanto, o custo total da instalação será de R$ 4250,00.

  

3. (Ufu 2017)  Considere os polinômios p(x) = x³ + 2a + b e h(x) = x⁴ + a – 2b, em que a e b são constantes reais e x é uma variável real. Determine os valores de a e b para os quais esses polinômios sejam divisíveis por x – 4.

  

Para que os polinômios p(x) e h(x) sejam divisíveis por x – 4, basta que

p(4) = h(4) = 0 → p(4) = 4³ + 2a + b = 0 → 2a + b = - 64 ( eq. I )  e

h(4) = 4⁴ + a – 2b = 0 → a – 2b = - 256 → a = 2b – 256 ( eq.II)

Substituindo eq. II em eq. I, vem : 2(2b - 256) + b = - 64→4b – 512 + b = - 64

5b = 512 – 64 → 5b = 448 → b = 448/5 → a = - 384/5

Portanto, os valores de a e b que tornam p(x) e h(x) divisíveis por x - 4

são, respectivamente, -384/5 e 448/5.

4. (Ufu 2017)  Os administradores de uma agência de automóveis observaram uma queda nas vendas em 2016. Nos x primeiros meses de 2016 obtiveram uma média mensal de 60 vendas realizadas, enquanto a média mensal no ano de 2015 foi de 67 carros vendidos. Foram realizados vários ajustes e um esforço coletivo dos funcionários, de forma que, nos demais meses de 2016, a média mensal passou para 72 carros vendidos, acarretando na igualdade entre as médias mensais nos anos de 2015 e 2016.

Segundo as informações apresentadas, determine o valor de x.

Do enunciado, temos: 60 = S₁/x e 72 = S₂/(12-x), onde S₁ e S₂ representam,

respectivamente, o total de vendas nos x primeiros meses de 2016 e o

total de vendas nos últimos meses de 2016 posteriores aos x primeiros

meses, assim, (S₁ + S₂)/12 = 67 → S₁ + S₂ = 804.

Como 60 = S₁/x e 72 = S₂/(12-x) , então S₁ = 60x e S₂ = 72(12-x)

Portanto 60x + 72(12-x) = 804 → 60x + 864 - 72x = 804 → -12x = - 60 → x = 5