QUESTÕES VESTIBULAR Ufpr 2018 – TIPO ANALÍTICA

1. (Ufpr 2018)  Considere os conjuntos de pares ordenados

               C = {(- 2,2), (- 1,1), (- 1, 4), (1, 1), (1, 5)}  e  

               Q = {(4, 6), (5, 0), (5, 3), (6, 5), (7, 1)} .

Diremos que a reta r separa os pontos dos conjuntos C e Q quando nenhum elemento de C está à direita da reta r e nenhum elemento de Q está à esquerda da reta r.

Na figura abaixo, podemos ver que a reta de equação y = 3x - 2 separa os pontos de C e Q. Por outro lado, a reta de equação y = - x + 4 não separa os pontos de C e Q pois o par ordenado (1, 5) pertence ao conjunto C e está à direita dessa reta.

                   

a) A reta de equação y = 2x + 1 separa os pontos dos conjuntos C e Q? Justifique sua resposta.

b) Para quais valores de a ϵ R, a reta de equação y = ax - 3 separa os pontos dos conjuntos C e Q?

 a) A reta de equação y = 2x + 1 está representada em azul no gráfico a seguir. Ela não separa os pontos C e Q pois o ponto (1, 1) fico à direita da reta, junto com os pontos do conjunto Q.

                        

b) A reta em questão deve passar entre os pontos (4, 6) e (1, 1). Assim,

pode-se calcular:

y = ax – 3 → (1, 1) → 1 = a.1 – 3 → a = 4 ou (4, 6) → 6 = a.4 – 3 → a = 9/4

Portanto S = {a ϵ R/ 9/4 ≤ a ≤ 4}

  

2. (Ufpr 2018)  Um dos maiores silos do mundo para armazenamento de grãos está localizado na cidade de Primavera do Leste, no Mato Grosso. Suponha que esse silo é constituído por um cilindro circular reto com 24 m de raio e 22 m de altura, no qual está acoplado um cone circular reto com altura de 8 m, conforme indicado na figura a seguir.

                                 

a) Calcule o perímetro, em metros, da base do cilindro. Use π = 3,1

b) Calcule o volume, em metros cúbicos, desse silo. Use π = 3,1

  

a) Calculando: Perímetro = 2πR = 2.3,1.24 = 148,8 m

b) Calculando:

    V_total  = V_cilindro + V_cone = πr²h + πr²h/3 = 3,1.24².22 + 3,1.24².8/3 →

    V_total  = 39283,2 + 4761,6 = 44044,8 m³

3. (Ufpr 2018)  Faça o que se pede.

a) Calcule log₁₆1/8. Forneça sua resposta com duas casas decimais.

b) Resolva a inequação log_1/2 (2x + 3) ≥ 1. Expresse sua resposta na forma de intervalo.

  

a) Calculando:

(1/8) = log₁₆1 - log₁₆8 = - log₁₆8 = - log₂⁴ 2³ = - 3/4 = - 0,75

b) Calculando:

log_1/2 (2x + 3) ≥ 1 → log_1/2 (2x + 3) ≥ log_1/2 1/2 → 2x + 3 ≤ 1/2 →

4x + 6 ≤ 1 → 4x ≤ - 5 → x ≤ - 5/4

Condição de existência: 2x + 3 > 0 → 2x > - 3 → x > - 3/2

    Logo, - 3/2 < x ≤ - 5/4

4. (Ufpr 2018)  Tripla pitagórica é uma sequência de três números inteiros positivos que satisfazem o famoso Teorema de Pitágoras. Em outras palavras, se a sequência (a, b, c) é uma tripla pitagórica, então o triângulo de lados a, b e c é um triângulo retângulo. Por exemplo, (3, 4, 5) e (5, 12, 13) são triplas pitagóricas.

a) Verifique se a sequência (20, 21, 29) é uma tripla pitagórica. Justifique sua resposta.

b) Justifique por que a sequência de números inteiros (n, n + 3, n + 5) não constitui uma tripla pitagórica para nenhum n inteiro positivo.

  

a) A sequência (20, 21, 29) é uma tripla pitagórica. Calculando:

     29² = 21² + 20² → 841 = 441 + 400

b) Calculando:

    (n + 5)² = (n + 3)² + n² → n² + 10n + 25 = n² + 6n + 9 + n² →

    n² - 4n – 16 = 0 → ∆ = 80 → n' = 2(1 + √5) ou n" = 2(1 - √5)

     Logo, não há número inteiro n que satisfaça o Teorema de Pitágoras

     para a sequência dada.  

5. (Ufpr 2018)  Leonardo fez uma pesquisa sobre o preço da jarra de suco de laranja em algumas lanchonetes da região e obteve os seguintes valores:

Lanchonete	Preço
A	R$ 10,75
B	R$ 6,00
C	R$ 9,50
D	R$ 11,00
E	R$ 5,25
F	R$ 7,00
G	R$ 10,50
H	R$ 8,00

a) Calcule a média e a mediana dos preços apresentados na tabela.

b) Leonardo decidiu acrescentar duas lanchonetes em sua pesquisa. Ao considerar todos os 10 estabelecimentos, a média de preços passou a ser de R$ 8,45. Sabendo que essas duas novas lanchonetes cobram o mesmo preço pela jarra de suco, calcule esse valor.

  

a) Calculando a média:

    Média = (10,75 + 6 + 9,5 + 11 + 5,25 + 7 + 10,5 + 8)/8 = 8,5

Calculando a mediana:

Lanchonete	Preço
E	R$ 5,25
B	R$ 6,00
F	R$ 7,00
H	R$ 8,00
C	R$ 9,50
G	R$ 10,50
A	R$ 10,75
D	R$ 11,00

Os valores intermediários são os das lanchonetes H e C, assim:

Mediana = (8 + 9,5)/2 = 8,75

b) Sendo x o preço cobrado por cada uma das lanchonetes adicionadas,

     pode-se escrever: 8,45 = (10,75+6+9,5+11+5,25+7+10,5+8+ 2x)/10 →

     84,5 = 68 + 2x → x = 8,25  

6. (Ufpr 2018)  Faça o que se pede.

a) Seja α ϵ [0, π/2]. Sabendo que senα = 0,6, calcule cosα e o determinante da matriz A, onde a₁₁ = cosα; a₁₂ = 4; a₂₁ = 1 e a₂₂ = 3.

b) Encontre todos os valores de ϴ ϵ R, para os quais a matriz

             

  

    tem determinante det(B) = 1.

a) Calculando:

sen²α + cos²α = 1 → (0,6)² + cos²α = 1 → cos²α = 0,64 → cosα = 0,8.

det(A) = 3cosα – 4.1→ det(A) = 3.0,8 – 4 → det(A) = - 1,6

b) Calculando:

    det(B) = cos²ϴ + sen²ϴ - senϴ - √2.senϴ.cosϴ = 1 →

    1 - senϴ - √2.senϴ.cosϴ = 1 → - senϴ - √2.senϴ.cosϴ = 0 →

     senϴ(1 + √2.cosϴ) = 0.

     Assim sendo,   senϴ = 0 → ϴ = kπ, k ϵ Z ou cosϴ = -√2/2 →

     ϴ  = ± 3π/4 + 2.k.π, k ϵ Z

7. (Ufpr 2018)  Uma empresa de telefonia oferece três planos mensais de internet móvel, descritos abaixo.

- Plano Ilimitado: mensalidade fixa de R$ 100,00 que permite ao cliente utilizar quantos gigabytes (GB) de dados desejar, sem pagar nada a mais.

- Plano Intermediário: mensalidade fixa de R$ 28,00 mais 4,50 por GB de dados consumidos.

- Plano Simples: não há mensalidade, porém o cliente paga R$ 12,00 por GB de dados consumidos.

Por exemplo, um consumo de 5 BG de dados em um mês custa R$ 100,00 para clientes do Plano Ilimitado, custa R$ 28,00 + 5 x R$ 4,50 = R$ 50,50 para clientes do Plano Intermediário e custa 5 x R$ 12,00 = R$ 60,00 para clientes do Plano Simples.

a) A partir de quantos GB de dados consumidos por mês o Plano Ilimitado fica mais vantajoso, ou seja, mais barato, que o Plano Intermediário?

b) A empresa pretende criar um novo plano de dados, chamado Plano Básico. Esse plano terá formato semelhante ao do Plano Intermediário, consistindo também de uma mensalidade fixa mais um preço por GB de dados consumidos. Além disso, o Plano Básico deverá satisfazer a duas condições:

- Ter o mesmo valor que o Plano Simples para clientes que consumirem3 GB de dados por mês.

- Ter o mesmo valor que o Plano Intermediário para clientes que consumirem 8 GB de dados por mês.

Quais devem ser o valor da mensalidade e o valor de cada GB de dados consumidos para que o Plano Básico cumpra as duas condições acima?

a) Sendo x o número de GB consumidos, pode-se escrever:

    100 < 28 + 4,5x → 72 < 4,5x → x > 16

     Logo ,se forem consumidos mais de 16 GB por mês, o Plano Ilimitado

     será mais vantajoso.

b) Calculando:

    3GB → V_simples = 12.3 = 36

    8GB → V_{intermediario}  = 28 + 4,5.8 = 64

    Plano simples → y = ax + b → 36 = 3a + b e 64 = 8a + b →

    a = 28/5 → a = 5,6 e b = 19,2

    Logo, a mensalidade do Plano Simples deverá ser igual a R$ 19,20 e o

    custo por GB igual a R$ 5,60