QUESTÕES VESTIBULAR MEDICINA FACULDADE SÃO LEOPOLDO MANDIC 2017 – COMENTADAS

1. O matemático polonês Sierpinski (1882 - 1969) estudou uma figura geométrica que ficou conhecida por Triângulo de Sierpinski, que se obtém a partir de um processo iterativo. Para construir um Triângulo de Sierpinski, pelo processo de remoção de triângulos, devem ser seguidas as instruções:

1. Constrói - se um triângulo equilátero.

2. Em seguida, determinam-se os pontos médios de cada um dos lados do triângulo.

3. Esses pontos médios são ligados para obter quatro triângulos equiláteros menores.

4. A figura a seguir é o resultado da ação descrita em 2 e 3.

     

(Observe que desses quatro triângulos apenas o triângulo central está invertido, em relação ao original; os outros três mantém a mesma orientação do original).

5. Para a segunda iteração, o triângulo central deve ser retirado e repete -se os mesmos procedimentos descritos em 2 e 3 para cada um dos três triângulos restantes.

6. Depois, para a terceira iteração, retiram-se os triângulos centrais, e repete-se o processo para os triângulos restantes.

7. A figura a seguir mostra o resultado dessa iteração.

                                

8. Para as demais iterações, esses procedimentos devem ser repetidos sucessivamente.

Considere uma sequência de figuras em que a primeira é o triângulo equilátero inicial, a segunda a resultante da primeira iteração, a terceira a resultante da segunda iteração, a quarta o resultado da terceira e assim por diante. Assim, a fórmula do termo geral a_n que permite calcular a

quantidade de triângulos obtidos na n-ésima figura, descontando-se os triângulos retirados, é:

A) a_n = 4^{n - 1}

B) a_n = 2.3ⁿ - 1

C) a_n = 13n + 1

D) a_n = 3^{n - 1}

E) a_n = 3ⁿ – 6

Vejamos :

A sequência em questão é uma progressão geométrica com primeiro

termo igual a 1 e razão 3 → (1, 3, 9, ... ).

Portanto a_n = a₁ . q^{n – 1} → a_n = 1 . 3^{n – 1} → a_n = 3^{n – 1}

2. Um estudo feito em um setor de mineração encontrou uma grande quantidade de pessoas com níveis elevados de chumbo no sangue. Iniciou -se o tratamento com um medicamento, primeiramente para as pessoas que apresentavam acréscimo superior a 6% de elevação do nível de chumbo em relação ao nível normal. Como o medicamento é tóxico, não se deve aplicar ao paciente uma dosagem muito além da ideal. Por meios de dados coletados, concluiu - se que o percentual P, que descreve a quantidade de chumbo no sangue como efeito de x gramas do medicamento, pode ser modelado de forma P = (x² + 5x + 6)/(x² + x + 1).

Uma possível dosagem para ser administrada de modo que a porcentagem de chumbo no sangue seja inferior a 2% é:

A) 4,1 g.

B) 3,8 g.

C) 3,1 g.

D) 2,5 g.

E) 1,8 g

Vejamos :

P = (x² + 5x + 6)/(x² + x + 1) < 2 → (x² + 5x + 6)/(x² + x + 1) - 2 < 0→

[(x² + 5x + 6) - 2(x² + x + 1)]/(x² + x + 1) < 0 →

[x² + 5x + 6 - 2x² - 2x - 2]/(x² + x + 1) < 0 → (- x² + 3x + 4)/(x² + x + 1) < 0 →

- x² + 3x + 4 = 0 → ∆ = 3² – 4.(-1).4 = 25→ x = (- 3 ± 5)/(- 2)→ x' = -1 ou x" = 4

  x² + x + 1 ≠ 0 → ∆ = 1² – 4.1.1 = - 3 → não existem soluções reais.

 Estudo dos sinais :

        −        -1        +         4       −

-----------------○----------------○----------------- ∆ = 25

           +                +                 +

------------------------------------------------------ ∆ < 0

           −                 +                  −

-----------------○----------------○-----------------   Solução

Portanto, P < 0 para x < - 1(não convém) ou x > 4

3. Três colegas de faculdade Carlos, Augusto e Marcos dividem um apartamento que tem apenas um telefone fixo. Das chamadas que chegam a esse telefone, 2/5 são para Carlos, 2/5 para Augusto e 1/5 para Marcos. Os três levam vidas independentes e passam parte do tempo fora de casa: estima-se que Carlos fique fora 50% do seu tempo, ao passo que Augusto e Marcos 25%, cada um. A probabilidade de que nenhum deles esteja em casa para atender suas respectivas chamadas e a probabilidade de que ocorram 3 chamadas para um deles são, respectivamente,

A) 1 e 17/125.

B) 1/32 e 1.

C) 1/32 e 17/125.

D) 9/32 e 4/125.

E) 1/32 e 4/125

Vejamos :

Das chamadas que chegam a esse telefone :

● 2/5 = 40% são para Carlos, que fica fora de casa 50% de seu tempo.

● 2/5 = 40% são para Augusto, que fica fora de casa 25% de seu tempo.

 ● 1/5 = 20% para Marcos, que fica fora de casa 25% de seu tempo.

A probabilidade de que nenhum deles esteja em casa para atender suas

respectivas chamadas → P = 50%.25%.25% = 1/2 . 1/4 . 1/4 →

P = 1/32.

A probabilidade de que ocorram 3 chamadas para um deles são →

P = 40%.40%.40% + 40%.40%.40% + 20%.20%.20%

P = 2/5 . 2/5 . 2/5 + 2/5 . 2/5 . 2/5  + 1/5 . 1/5 . 1/5 = 8/125 + 8/125 + 1/125 →

P = 17/125

4. Carlos encontra-se na janela do seu apartamento situada a 9 metros do solo, e observa a parte inferior do edifício em frente ao seu, com um ângulo de depressão de 40°.

A distância entre os dois prédios, que inclui a largura da rua e as larguras da calçada de ambos os lados, é aproximadamente igual a:

A) 9,00 m.

B) 10,71 m.

C) 11,80 m.

D) 12,00 m.

E) 12,95 m.

Vejamos :

Observando a figura abaixo, podemos notar que a razão trigonométrica

em questão é a tangente.

                                                      

tg 40⁰ = H/d, como tg 40⁰ = sen 40⁰/cos 40⁰

9/d ≈ 0,64/0,76 → 9/d ≈ 0,84 → d ≈ 9/0,84 → d ≈ 10,71 m

5. Considere um número de 4 algarismos a, b, c, d com a notação (abcd), todos diferentes de zero. Sabendo que (ab) = 4(a + b); (abc) = 19(a + b + c) e (abcd) = 118(a + b + c + d), assinale o resultado de a + b + c + d.

A) 10.

B) 13.

C) 21.

D) 22.

E) 30

Vejamos :

● (ab) = 4(a + b)→ 10a + b = 4(a + b)→ 10a + b = 4a + 4b→ 6a= 3b → 2a = b

● (abc) = 19(a + b + c) → 100a + 10b + c = 19(a + b + c) → 100a + 10b + c =

19a + 19b + 19c → 81a - 9b – 18c = 0 ( ÷ 9) → 9a - b – 2c = 0

● (abcd) = 118(a + b + c + d) → 1000a + 100b + 10c + d = 118(a + b + c + d)

1000a + 100b + 10c + d = 118a + 118b + 118c + 118d → 882a – 18b – 108c –

117d = 0 ( ÷ 9) → 98a – 2b – 12c – 13d = 0 

Agora como b = 2a, então 9a – 2a – 2c = 0 → 7a = 2c → c = 7a/2

Agora como b = 2a e c = 7a/2, então 98a – 2b – 12c – 13d = 0 →

98a – 2.2a – 12.7a/2 – 13d = 0 → 98a – 4a – 42a – 13d = 0 → 52a = 13d →

d = 4a

Sabendo que a, b, c e d, são algarismos inteiros, positivos e diferentes de

zero, então "a" não pode ser ímpar (caso contrário "c" não seria inteiro), e

inferior a "3" (pois neste caso "d" seria maior do que "10") .

Finalmente, "a" necessariamente deverá ser "2", b = 4, c = 7, d = 8 e

a + b + c + d = 2 + 4 + 7 + 8 = 21

6. Um cachorrinho está preso na extremidade de uma corda de 30 metros no canto inferior de uma casa de planta retangular de 10 metros por 20 metros. Na figura, o ponto P representa o local onde essa corda foi fixada.

                          

Se o cachorrinho se deslocar ao redor da casa com a corda esticada ao máximo, essa trajetória delimitará uma região cuja área, em m², é aproximadamente igual a:

A) 2826.

B) 2512.

C) 2109.

D) 1413.

E) 706

Vejamos :

Observando a figura acima e considerando as regiões A, B, C como

setores de 90⁰ , então o cachorrinho se deslocando ao redor da casa, com

a corda esticada ao máximo, gera uma trajetória que delimitará uma

região de área : A_A + A_B + 3A_C = π(R_A²)/4  + π(R_B²)/4 + 3π(R_C²)/4 =

π(10²)/4  + π(20²)/4 + 3π(30²)/4  = 100π/4  + 400π/4 + 2700π/4 = 3200π/4 =

800π ≈ 800.3,14 ≈ 2512 m²

Portanto a região em questão mede aproximadamente 2512 m²

( Note que a região sinalizada por "?" não fará parte da resposta da

situação apresentada).

7. Uma bactéria deve ser tratada com um determinado antibiótico antes que estejam presentes 10.000 delas no organismo do paciente, circunstância em que o tratamento deve ser mudado. Sabe-se que o número dessas bactérias cresce à razão de 5% a cada hora e que, no início do tratamento estavam presentes 400 bactérias. Use o modelo N(t) = N₀.e^λt, onde N(t) é o número de bactérias no tempo t e λ é a taxa de crescimento. Considerando que ln 5 ≈ 1,61,o tempo, em horas, que o médico deve aguardar para trocar o tratamento, é, aproximadamente,

A) 80.

B) 72.

C) 64.

D) 52.

E) 48

Vejamos :

Sendo N(t) = N₀.e^λt, com N₀ = 400 e λ = 5% = 0,05 → N(t) = 400.e^0,05t

Uma bactéria deve ser tratada com um determinado antibiótico antes que

estejam presentes 10.000 → N(t) = 400.e^0,05t < 10000 → e^0,05t < 25 →

ln e^0,05t < ln25 → 0,05t . ln e < ln 5² → 0,05t < 2 . 1,61 → 0,05t < 3,22

t < 3,22/0,05 → t < 64,4 .

Portanto t = 64 horas

8. Um dentista observa o número de cáries em 200 crianças da mesma faixa etária, obtendo o seguinte resultado :

 

Em relação à distribuição apresentada na tabela, as medidas de tendência central, média, mediana e moda, são, respectivamente,

A) 1,225; 2,5 e 71.

B) 2,5; 1 e 65.

C) 1; 1,225 e 0.

D) 1,225; 2,5 e 0.

E) 1,225; 1 e 0

Vejamos :

Média = (0.71 + 1.65 + 2.30 + 3.20 + 4.10 + 5.4)/200 = 245/200 = 1,225

Mediana → 0,0,0...(71vezes); 1,1,1,...(65vezes); 2,2,2,...(30vezes);

3,3,3,...(20 vezes); 4,4,4,...(10vezes); 5,5,5,...(4vezes) →

Mediana = (1 + 1)/2 = 1

Moda = 0

9. O Conselho Federal de Medicina (CFM) publicou a “Pesquisa Demográfica Médica no Brasil”, em 2011. O gráfico a seguir é um dos resultados desta pesquisa.

A respeito destes resultados são feitas as seguintes afirmações:

I. O número total de mulheres médicas é maior do que o número total de

homens médicos.

II. Há mais mulheres médicas na faixa de 30 a 50 anos de idade do que na faixa de 50 a 80 anos.

III. Há um recuo da participação de mulheres médicas, a partir dos 50 anos, e que se acentua após os 60 anos.

IV. Os homens médicos apresentam um segundo pico de concentração por volta dos 60 anos, e se retiram do exercício  da profissão mais tarde do que as mulheres médicas.

Está correto o que se afirma  APENAS em:

A) II, III, IV.

B) I, II, IV.

C) I, III, IV.

D) II, III.

E) I, III.

Vejamos :

Observando os gráficos podemos notar que,

I. FALSO, O número total de mulheres médicas é maior do que o número total de homens médicos.

II. VERDADEIRO, Há mais mulheres médicas na faixa de 30 a 50 anos de idade do que na faixa de 50 a 80 anos.

III. VERDADEIRO, Há um recuo da participação de mulheres médicas, a partir dos 50 anos, e que se acentua após os 60 anos.

IV. VERDADEIRO, Os homens médicos apresentam um segundo pico de concentração por volta dos 60 anos, e se retiram do exercício  da profissão mais tarde do que as mulheres médicas.

10. O trabalho de pesquisa “Evolução das emissões de gases de efeito estufa no Brasil (1990 - 2013)”, publicado pelo IEMA – Instituto de Energia e Meio Ambiente em 2015, mostra a situação, no período e em nosso país, das contribuições de vários fatores nos processos que geram emissões de gases de efeito estufa na atmosfera. Desta publicação destaca-se o gráfico a seguir.

Considere:

I. O setor de energia foi o que apresentou a maior taxa média de crescimento  anual no período de 1990 a 2013.

II. As emissões por processos industriais superaram aquelas produzidas por resíduos apenas entre 2012 e 2013.

III. Em conjunto, as emissões totais dos setores de energia e de processos industriais foram responsáveis por cerca de 550 milhões de toneladas de CO2 em 2013.

Está correto o que se afirma APENAS em:

A) I.

B) I e II.

C) I e III.

D) II e III.

E) III.

Vejamos :

Observando os gráficos podemos notar que,

I. VERDADEIRO, O setor de energia foi o que apresentou a maior taxa média de crescimento  anual no período de 1990 a 2013.

II. FALSO, As emissões por processos industriais superaram aquelas produzidas por resíduos apenas entre 2012 e 2013.

III. VERDADEIRO, Em conjunto, as emissões totais dos setores de energia e de processos industriais foram responsáveis por cerca de 550 milhões de toneladas de CO2 em 2013.

11. O administrador de uma fábrica vem adquirindo embalagens de fornecedores externos a R$ 1,10 cada uma, e precisa  decidir se a empresa deve produzir suas próprias embalagens. Caso a empresa opte pela fabricação das embalagens, isto somaria aos seus custos gerais R$ 800,00 ao mês, além do custo de material e de mão de obra, no valor de R$ 0,60 por embalagem. Para justificar a decisão de fabricar as próprias embalagens, assinale a quantidade necessária que a empresa deverá usar por mês:

A) 1601.

B) 1510.

C) 1320.

D) 1253.

E) 1185.

Vejamos :

● Embalagens de fornecedores externos a R$ 1,10 → Custo₁ = 1,10x

● Fabricação das embalagens, isto somaria aos seus custos gerais

R$800,00 ao mês, além do custo de material e de mão de obra, no valor de

R$ 0,60 por embalagem → Custo₂ = 800,00 + 0,60x

Para justificar a decisão de fabricar as próprias embalagens → C₂ < C₁ →

800 + 0,6x < 1,1x  → 0,6x – 1,1x < - 800 →  – 0,5x < - 800 (.-1) → 0,5x > 800

x > 800/0,5 → x > 1600.

Portanto x = 1601 embalagens