TREINAMENTO GEOMETRIA ESPACIAL – PARTE 3 - ESTILO ENEM 2017 - COMENTADO

Questão 46)

     Uma taça em forma de cone circular reto estava cheia de vinho até a borda.

      Depois de ser tomado metade do vinho, a figura que melhor representa a quantidade de bebida que restou na taça é

a) figura 1.

b) figura 2.

c) figura 3.

d) figura 4.

e) figura 5.

Resolução

Alternativa correta: D

Sendo h e V, respectivamente, a altura e o volume do cone de vinho, tem-se:

2V/V = (8/h)³ → 2 = (8/h)³ → ³√2 = 8/h → h = 8 / ³√2 → h = 4³√4

Questão 47)

Uma rede mundial de hotéis fez uma propaganda em uma revista de turismo divulgando seus amplos apartamentos, a comodidade e o conforto. Na ocasião, a gravura a seguir foi utilizada para fazer alusão ao anúncio publicitário.

O aquário menor possui uma capacidade de 3,5 litros e o raio do aquário maior, que é semelhante ao menor, é o triplo do raio deste. Qual a capacidade do aquário maior?

a) 10,5 litros.

b) 31,5 litros.

c) 63,5 litros.

d) 94,5 litros.

e) 112,5 litros.

Resolução

Alternativa correta: D

Como os aquários são semelhantes, tem-se:

Capacidade do menor / Capacidade do maior = (raio do menor / raio do maior)³ →

(3,5/cap. maior) = (r/3r)³ → Capacidade do maior = 3,5 ^. 27= 94,5 litros.

Questão 48)

A figura representa parte de uma escada construída com blocos de concreto na forma de prisma de base quadrada, cujas arestas da base medem 20 cm, e a altura, 1,5 m.

O volume de concreto necessário para construir a escada, em m³, é

a) 1,20.

b) 0,90.

c) 0,80.

d) 0,60.

e) 0,40.

Resolução

Alternativa correta: B

Percebemos15=(1+2+3+4+5)degraus.
Cada bloco:

Volume_bioco = 0,2 . 0,2 . 1,5 = 0,06 m³ 

Volume_escada = 15 . 0,06 = 0,9 m³

Questão 49)

Uma pilha de latas de leite está exposta em um supermercado, em forma de pirâmide de base triangular, como mostra a figura.

Para montar uma pirâmide semelhante, um promotor de vendas usou 5 caixas contendo 24 latas em cada uma. Cada lata mede 15 cm de altura.
Observe que, do topo para a base da pirâmide, a quantidade de latas é 1, 3, 6, e, assim, sucessivamente.
Qual a altura da pirâmide formada pelo promotor de vendas?

a) 1,0 m

b) 1,2 m

c) 1,6 m

d) 2,4 m

e) 2,8 m

Resolução

Alternativa correta: B

Como o total de latas das 5 caixas é 120, precisa-se de um número de termos na sequência cuja soma seja 120. Como 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 = 120, a pi­râmide será formada com 8 termos da sequência, que corresponde a 8 filas.

Assim, a altura da pirâmide será 8 15 cm = 120 cm ou 1,2 m

Questão 50)

Uma fábrica de sorvete, desejando inovar suas embalagens, projeta uma embalagem como mostra a figura abaixo:

O volume de sorvete, em litros, nessas novas embalagens é

(Use √3 = 1,7 e π = 3 )

a) 1 L.

b) 1,2 L.

c) 1,6 L.

d) 1,8 L.

e) 2 L.

Resolução

Alternativa correta: C

V = (Área de base) . (Altura)

Área da base = 10²√3/4 + π5²/2 = 25√3 + 75/2 = 42,5 + 37,5 = 80 

Altura = 20

V = 80 . 20 = 1600 cm³ = 1,6 L

Questão 51)

É muito comum ouvirmos falar da falta de água em praias, no período de veraneio. Para prevenir-se deste problema, o Sr. Júnior instalou uma caixa-d’água de fibra adquirida da firma Baskara S.A., cujas dimensões são 0,80 m, 1,00 m e 0,70 m. Sabe-se que uma caixa-d’água nunca fica completamente cheia por causa da posição do cano de entrada. Nesse caso, os últimos 10 cm da altura do reservatório ficam vazios.

A capacidade, em litros, dessa caixa-d’água, que tem a forma de um paralelepípedo, é

a) 560.

b) 480.

c) 400.

d) 360.

e) 300.

Resolução

Alternativa correta: B

Volume_caixa = 0,80 . (0,70 - 0,10) = 0,8 . 0,6 = 0,48 m³ 

Volume_caixa = 0,48 m³ = 480 L.

Questão 52)

O administrador de uma cidade, implantando uma política de reutilização de materiais descartados, aproveitou milhares de tambores cilíndricos dispensados por empresas da região e montou kits com seis tambores para o abastecimento de água em casas de famílias de baixa renda, conforme a figura seguinte.

Além disso, cada família envolvida com o programa irá pagar somente R$ 2,50 por metro cúbico utilizado.

Uma família que utilizar 12 vezes a capacidade total do kit em um mês pagará a quantia de

(considere π ≅ 3)

a) R$ 86,40.

b) R$ 21,60.

c) R$ 8,64.

d) R$ 7,20.

e) R$ 1,80.

Resolução

Alternativa correta: B

O volume do kit é dado por V = 6.π.r².h = 6.3.0,2².1 = 0,72m^3. . Uma família que utilizar 12 vezes a capacidade total do kit em um mês pagará a quantia de 0,72m³.12.2,5 = 21,60. 

Questão 53)

     Uma empresa de cosméticos lançará um perfume e está elaborando uma nova embalagem. O projeto planificado dessa embalagem está representado na figura a seguir.

Considerando que, após a montagem, a embalagem seja um poliedro convexo, a quantidade de vértices presentes nessa embalagem será de

a) 72.

b) 46.

c) 36.

d) 24.

e) 18.

Resolução

Alternativa correta: D

Alternativa A

(F) O aluno marca esta alternativa por considerar que, como cada octógono tem 8 vértices e cada triângulo tem 3, então há: 6 ∙ 8 + 8 ∙ 3 = 72 vértices.

Alternativa B

(F) O aluno conta os vértices da imagem e marca esta alternativa.

Alternativa C

(F) O aluno confunde a quantidade de vértices com a quantidade de arestas, que é (6.8 +8.3)/2 = 36, e marca esta alternativa.

Alternativa D

(V) Na figura há 14 faces, sendo 6 octógonos e 8 triângulos; assim, a quantidade de arestas é (6.8 +8.3)/2 = 36. Aplicando a relação de Euler, tem-se:

F + V = A + 2 ⇒ 14 + V = 36 + 2 ⇒ V = 24.

Logo, a quantidade de vértices é 24.

Alternativa E

O aluno marca esta alternativa por considerar que, como cada octógono tem 8 vértices e cada triângulo tem 3, então há: 6 ∙ 8 + 8 ∙ 3 = 72 vértices; em seguida, divide por 4, considerando que cada vértice pertence sempre a quatro faces, obtendo: 72/4 = 18 .

Questão 54)

     Em uma aula sobre poliedros, o professor mostrou a seguinte planificação para seus alunos.

     Em seguida, perguntou aos seus alunos quantos vértices, arestas e faces esse poliedro possui.

Respectivamente, a resposta correta dada pelos alunos foi

a) 60, 30 e 32.

b) 60, 30 e 30.

c) 30, 60 e 32.

d) 30, 60 e 30.

e) 18, 48 e 32.

Resolução

Alternativa correta: C

Alternativa A

(F) O aluno troca a quantidade de vértices pela quantidade de arestas e responde 60, 30, 32.

Alternativa B

(F) O aluno conta incorretamente a quantidade de faces, troca os vértices pelas arestas e responde 60, 30, 30.

Alternativa C

(V) F₅ = 12 e F₃ = 20.
5 ∙ 12 + 3 ∙ 20 = 2A ⇒ A = 60
V + 32 = 60 + 2 ⇒ V = 30
Logo, o poliedro apresentado possui 30 vértices, 60 arestas e 32 faces.

Alternativa D

(F) O aluno considera a quantidade de faces como sendo 30 e responde 30, 60, 30.

Alternativa E

(F) O aluno conta todas as faces como sendo triangulares e faz:
F₃ = 32
3 ∙ 32 = 2A ⇒ A = 48
V + 32 = 48 + 2 ⇒ V = 18

Questão 55)

     Um balde com formato de tronco de cone possui diâmetro da base menor medindo 20 cm, água até a altura de 30 cm e diâmetro superior de água de 40 cm, conforme a figura 1.

     Um bloco cúbico de chumbo foi mergulhado nesse balde, conforme a figura 2, de modo que o nível da água passou para 60 cm.

Considere o volume do tronco de cone como: πh/3 . (r² + r.R + R²).

Qual a medida da aresta do cubo?

a) ³√7000π  cm

b) ³√12000π  cm

c) ³√14000π  cm

d) ³√19000π  cm

e) ³√26000π  cm

Resolução

Alternativa correta: D

Alternativa A

(F) O aluno faz a³ = 7 000π ⇒ a =³√7000π .

Alternativa B

(F) O aluno faz o volume do tronco da figura 2:

V₂ = 60π/3 . (10² + 10.20 + 20²) = 14000π cm³.

Logo, o volume do cubo de aresta a é calculado como:

a³ = 26000π - 14000π → a = ³√12000π cm

Alternativa C

(F) O aluno faz a³ = 14 000π  ⇒ a = ³√14000π cm

Alternativa D

(V) Volume do tronco da figura 1:

V₁ = 30π/3 . (10² + 10.20 + 20²) = 7000π cm³

Na configuração da figura 2, pode-se determinar o novo raio do nível da água por meio da figura a seguir.

                                              

Volume do tronco da figura 2:

V₂ = 60π/3 . (10² + 10.30 + 30²) = 26000π cm³

Logo, o volume do cubo de aresta a pode ser calculado da seguinte forma:

a³ = 26000π − 7000π ⇒ a = ³√19000π cm

Alternativa E

(F) O aluno faz a³ = 26 000π ⇒ a = ³√26000π cm

.

Questão 56)

            Conjuntos de seis bolas esféricas de raio 2,5 cm são acondicionadas em caixas com formato de paralelepípedo retângulo, de modo que todas as caixas se encontram preenchidas, conforme a figura a seguir.

Sabendo que existem 10 000 dessas caixas guardadas em um depósito com formato de paralelepípedo retângulo de dimensões 3m × 2,5m × 2m, o volume livre do depósito corresponde

a) à metade do volume total ocupado pelas caixas.

b) à terça parte do volume total ocupado pelas caixas.

c) ao volume total ocupado pelas caixas.

d) ao dobro do volume total ocupado pelas caixas.

e) ao triplo do volume total ocupado pelas caixas.

Resolução

Alternativa correta: C

Volume de 10000 caixas = 10000 · (6 · 2,5) · (4 · 2,5) · (2 · 2,5) = 7500000 cm³ = 7,5 m³.

Volume que sobra = 3m · 2,5m · 2m – 7,5m³ = 7,5m³.

Assim, o volume livre do depósito corresponde ao volume total ocupado pelas caixas.

Questão 57)

    Para fabricar um dodecaedro regular, como o mostrado na figura, um artesão utilizou barras de ferro de 1,5 metro de comprimento para usar como arestas.

O ferro comprado só é vendido em varas inteiras de 6 metros de comprimento. Ele possui 5 varas em sua oficina. Desse modo, o artesão

a) ainda terá uma sobra de 2 m de ferro ao terminar seu trabalho.

b) possui a quantidade exata de ferro para fazer o poliedro.

c) precisará adquirir mais 2 varas de ferro.

d) precisará adquirir mais 3 varas de ferro.

e) precisará adquirir mais 4 varas de ferro.

Resolução

Alternativa correta: D

O poliedro mostrado possui 30 arestas. Assim, a metragem total para confeccionar o dodecaedro é 1,5 ∙ 30 = 45 metros. Como cada vara possui 6 metros, ele precisa de 45 : 6 = 7,5 varas. Porém, já possui 5 varas, faltando ainda comprar mais 3 para completar o serviço.

Questão 58)

            Nos guichês das companhias aéreas dos aeroportos, há caixas que auxiliam os passageiros a identificarem se suas bagagens de mão estão dentro dos padrões estabelecidos pela Agência Nacional de Aviação Civil (ANAC). As figuras mostram as dimensões da caixa.

Considerando que todo o conteúdo da bagagem de mão esteja uniformemente distribuído, a densidade máxima da bagagem é, aproximadamente,

a) 0,001 g/cm³.

b) 0,011 g/cm³.

c) 0,114 g/cm³.

d) 1,366 g/cm³.

e) 1,136 g/cm³.

Resolução

Alternativa correta: C

O volume total da caixa é 20 · 40 · 55 = 44000 cm³. Desse modo, a densidade máxima da bagagem será 5 kg / 44000 cm³ = 5000 g / 44000 cm³ ≈ 0,114 g/cm³ .

Questão 59)

    A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura.

A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei f(x) = 3/2 x² – 6x + C, onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é

a) 1.

b) 2.

c) 4.

d) 5.

e) 6.

Resolução

Alternativa correta: E

De acordo com o desenho, percebe-se que Δ = 0, pois a parábola toca o eixo “x” em apenas um ponto. Se Δ = 0 ⇒ x_v é raiz dupla da função ƒ(x), logo: x = x_v = -b/2a = 2

Se x_v = 2 é raiz, então ƒ(2) = 0 → f(2) = 3/2 . 2² – 6.2 + C → C = 6

Questão 60)

Seis reservatórios cilíndricos, superiormente abertos e idênticos (A, B, C, D, E, F), estão apoiados sobre uma superfície horizontal plana e ligados por válvulas (V) nas posições indicadas na figura.

Com as válvulas (V) fechadas, cada reservatório contém água até o nível indicado. Todas as válvulas são, então, abertas, o que permite a passagem livre da água entre os reservatórios, até que se estabeleça o equilíbrio hidrostático.

Nessa situação final, o nível da água, em dm, será igual a

a) 6,0 dm nos reservatórios de A a E e 3,0 dm no reservatório F.

b) 5,5 dm nos reservatórios de A a E e 3,0 dm no reservatório F.

c) 6,0 dm em todos os reservatórios. 

d) 5,5 dm em todos os reservatórios.

e) 5,0 dm nos reservatórios de A e E e 3,0 dm no reservatório F.

Resolução

Alternativa correta: A

O equilíbrio hidrostático dos cinco primeiros reservatórios ocorrerá na altura média entre eles. Portanto, h_m = (8+7+6+5+4)/5 = 6 dm . Como o equilíbrio dos cinco primeiros tubos ocorre a 6 dm da superfície plana e a válvula de ligação entre o tubo E e o tubo F também está a 6 dm, não ocorrerá passagem de água entre estes dois tubos. Logo, o nível de água nos reservatórios de A a E é de 6 dm e o nível no reservatório F é de 3 dm. Segue a ilustração da situação final.